В замкнутой области

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений

В замкнутой области

Наибольшее и наименьшее значения функции

Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области . Тогда она достигает в некоторых точках своего наибольшего и наименьшего значений (так называемый глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области , или в точках, лежащих на границе области.

1. Найти все критические точки функции, принадлежащие , и вычислить значения функции в них.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области.

3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее .

Пример 2.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями: .

Решение. 1) Строим замкнутую область , ограниченную линиями: .

Û , , , .

Таким образом, получаем четыре стационарные точки, ни одна из которых не принадлежит области .

3) Исследуем функцию на границе области, состоящей из участков и .

а) на границу : .

Тогда получаем функцию от одной переменной : . Находим критические точки: .

Þ .

Далее .

б) на границу : .

Тогда получаем функцию от одной переменной : . Находим критические точки: .

Þ и .

Далее .

в) на границу : .

Тогда получаем функцию от одной переменной : . Находим критические точки: .

Þ .

Далее .

г) на границу : .

Тогда получаем функцию от одной переменной :

.

Находим критические точки: .

Þ . Значит, на границе критических точек нет.

4) Находим значения функции в вершинах области: . Выше были найдены значения функции и , что соответствует значениям функции в точках и . Поэтому находим значения функции в точках и :

;

.

Из всех полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее:

; .

,

3. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ