Частные производные ФНП

Рассмотрим линию пересечения поверхности с плоскостью , параллельной плоскости . Так как в этой плоскости сохраняет постоянное значение, то вдоль кривой будет меняться только в зависимости от изменения . Дадим независимой переменной приращение , тогда получит приращение, которое называется частным приращением по и обозначают через (на рисунке отрезок ), так что

.

Аналогично, если сохраняет постоянное значение, а получает приращение

параллельной плоскости .

Наконец, придав аргументу приращение , а аргументу приращение , получим для новое приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой

.

На рисунке изображено отрезком .

Надо отметить, что, вообще говоря, полное приращение не равно сумме частных приращений, т.е. .

Определение 1.6. Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения по к приращению при стремлении к нулю. Обозначается: . Тогда

.

Определение 1.7. Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения по к приращению при стремлении к нулю. Обозначается: . Тогда

.

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно или считаются постоянной величиной).

Пример 1.2. Для данной функции требуется найти частные производные и . Найти значения частных производных в точке :

.

Решение. Находим частные производные в общем виде:

, .

Находим значения частных производных в точке :

, .

,