Непараметричний критерій Q Розенбаума

Класифікація критеріїв

ОЦІНКА ДОСТОВІРНОСТІ ВІДМІННОСТЕЙ

  Параметричні критерії Непараметричні критерії
Визначення ступеню узгодженості змін (кореляція) r (коефіцієнт кореляції Пірсона) rs (коефіцієнт кореляції Спірмена) φ (коефіцієнт фі-кореляції Пірсона)
Порівняння розподілів   Χ2-(критерій відповідності)
Оцінка достовірності відмінностей t-критерій Стьюдента для незалежних вибірок U критерій Манна-Уїтні H-критерій Крускала-уоліса m біноміальний критерій χ2-(критерій однорідності)
Оцінка достовірності відмінностей при повторних вимірах t-критерій Стьюдента для залежних вибірок T-критерій Вілкоксона
Аналіз змін ознаки. Порівняння дисперсій F-критерій Фішера  
Завдання Умови Методи
1. Вияв відмінностей на рівні досліджуваної ознаки а) 2 вибірки досліджуваних   б) 3 і більше вибірок досліджуваних Q – критерій Розенбаума; U – критерій Манна-Уїтні; φ⃰ – критерій (кутове перетворення Фішера); S – критерій тенденцій Джонкіра; H – критерій Крускала-Уоліса.
2. Оцінка зсуву значень досліджуваної ознаки а) 2 виміри на одній і тій же вибірці досліджуваних     б) 3 та більше вимірів на одній і тій же вибірці досліджуваних Т – критерій Вілкоксона; G – критерій знаків; φ⃰ – критерій (кутове перетворення Фішера); χr2 – критерій Фрідмана; L – критерій тенденцій Пейджа.
3. Вияв відмінностей в розподілі ознаки а) при співставленні емпіричного розподілу з теоретичним χ2 – критерій Пірсона; λ – критерій Колмогорова-Смірнова; m – біноміальний критерій.
4. Вияв ступеню узгодженості змін (кореляція) а) двох ознак   б) двох ієрархій або профілей rsкоефіцієнт рангової кореляції Спірмена. rsкоефіцієнт рангової кореляції Спірмена.
5. Аналіз змін ознаки під впливом контрольованих умов а) під впливом одного фактора     б) під впливом двох факторів одночасно S – критерій тенденцій Джонкіра; L – критерій тенденцій Пейджа; однофакторний дисперсійний аналіз Фішера. двофакторний дисперсійний аналіз Фішера

Q-критерій Розенбаума заснований на порівнянні «накладених» один на одного ранжируваних рядів значень двох незалежних змінних. При цьому не аналізується характер розподілу ознаки всередині кожного ряду – в даному випадку має значення лише ширина ділянок, які не перекриваються двох ранжируваних рядів. При порівнянні між собою двох ранжируваних рядів змінних можливі 3 варіанти:

1. Ранжирувані ряди x і y не мають області перекриття, тобто всі значення першого рангового ряду (x) більші всіх значень другого рангового ряду (y):

У даному випадку відмінності між вибірками, що визначаються по будь-якому статистичному критерію, безумовно достовірні, і використання критерію Розенбаума не потрібно. Проте на практиці такий варіант зустрічається виключно рідко.

2. Ранжирувані ряди повністю накладаються один на одного (як правило, один з рядів знаходиться всередині іншого), зони, які не перекриваються, відсутні. У даному випадку критерій Розенбаума непридатний.

3. Мається зона перекриття рядів, а також дві області, які не перекриваються (N1 і N2), що відносяться до різних ранжируваних рядів (позначимо х – ряд, зсунутий у бік великих, y – у бік менших значень):

 

Даний випадок є типовим для використання критерію Розенбаума, при використанні якого слід дотримуватися таких умов:

1. Обсяг кожної вибірки повинен бути не менше 11.

2. Обсяги вибірок не повинні істотно відрізнятися один від одного. Критерій Q Розенбаума відповідає числу значень, які не перекриваються: Q = N1 + N2. Висновок про достовірність відмінностей між вибірками робиться у випадку, якщо Q > Qкр. При цьому значення Qкр знаходяться в спеціальних таблицях.

Повернемося до нашого завдання. Введемо позначення: х – вибірка дівчат, y – вибірка юнаків. Для кожної вибірки будуємо ранжований ряд:

 

х: 28 30 34 34 35 36 37 39 40 41 42 42 43 44 45 46

y: 26 28 32 32 33 34 35 38 39 40 41 42 43 44

 

Підраховуємо число значень в областях ранжируваних рядів, які не перекриваються. В ряду х значення, які не перекриваються є 45 і 46, тобто N1 = 2; в ряду y тільки 1 значення, яке не перекривається 26, тобто N2 = 1. Звідси, Q = N1 + N2 = 1 + 2 = 3. У таблиці знаходимо, що Qкр. = 7 (для рівня значущості р≤0,05) і Qкр = 9 (для рівня значущості р≤0,01).

Висновок: оскільки Q < Qкр, то за критерієм Розенбаума відмінності між вибірками не є статистично достовірними.

Примітка:

Критерій Розенбаума може використовуватися незалежно від характеру розподілу змінних, тобто в даному випадку відпадає необхідність використання критеріїв χ2 Пірсона і λ Колмогорова для визначення типу розподілів в обох вибірках.