Закон распределения дискретной случайной величины

Дискретные случайные величины.

Случайные величины

При решении практических задач в различных областях (экономика, социология, политология, медицина и др.) с применением методов математической статистики широко используются понятия дискретных и непрерывных случайных величин, а также их основные характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и т. д.

Под величиной обычно понимается характеристика объекта или процесса, которую можно измерить, т. е. сосчитать, например, при подсчете количества выпущенных деталей или сопоставить с эталоном, например, при измерении роста или веса человека.

Определение. Дискретной случайной величиной называется переменная величина , принимающая в результате серии испытаний одно из значений …, , являющихся членами конечной или бесконечной числовой последовательности, с соответствующими вероятностями …,

Определение. Закон распределения дискретной случайной величины− функциональная зависимость вероятности от значений случайной величины

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан, как и любая числовая функция, тремя способами:

· аналитически в виде уравнения

· графически (многоугольник распределения вероятностей);

· таблично.

Замечание. То, что случайная величина примет одно из значений последовательности …, является достоверным событием, следовательно, выполняются условия и если значения …, являются членами конечной или бесконечной последовательности соответственно.

Пример 3.40. Вероятность попадания в цель первым стрелком 0,8; вторым – 0,7; третьим – 0,9. Каждый стрелок выстрелил по мишени. Составить закон распределения дискретной случайной величины − числа попаданий в мишень. Какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель?

Пусть событие – попадание в цель первым стрелком, – вторым, – третьим. Вероятности противоположных им событий соответственно равны:

и

Случайная величина может принимать следующие значения: 0, 1, 2 и 3. Вычислим значения вероятностей, соответствующие этим значениям дискретной случайной величины

Запишем полученные результаты в виде таблицы 3.5 − закона распределения дискретной случайной величины.

Таблица 3.5

Закон распределения дискретной случайной величины

		0,074

Проверка.

Пример 3.42. Монету подбрасывают 8 раз. Составить закон распределения дискретной случайной величины − числа выпадений орла.

Поскольку в условии задачи говорится о серии независимых испытаний, в каждом из которых событие, связанное с выпадением орла может произойти с вероятностью и не произойти с вероятностью, то мы имеем дело со схемой Бернулли. Следовательно, функциональная зависимость вероятности от значений случайной величины может быть выражена формулой Бернулли , где а

Вычислим вероятности, соответствующие значениям дискретной случайной величины от 0 до 8.

Полученные результаты запишем в виде таблицы 3.6, т. е. представим таблично закон распределения дискретной случайной величины.

Таблица 3.6

Закон распределения дискретной случайной величины

На основе табличных данных (табл. 3.6) построим многоугольник распределения вероятностей (рис. 3.1), т. е. представим графически закон распределения дискретной случайной величины.

Рис. 3.1. Многоугольник распределения вероятностей

Рассмотренный в задаче закон распределения дискретной случайной величины, выраженной формулой Бернулли, получил название биноминального закона распределения.