Пример 2.25.
Найти область сходимости степенного ряда: 1)
; 2) 
.
Решение.
Найдем радиус сходимости ряда:
ряд сходится при 
Пусть х = 1, тогда ряд принимает вид 
− сходится.
Пусть х = –1, тогда ряд принимает вид 
− сходится абсолютно, т. к. ряд 
сходится.
Ответ: [–1; 1].
ряд сходится при 
Пусть х = 1, тогда ряд принимает вид 
− расходится.
Пусть х = –1, тогда ряд принимает вид 
− сходится по признаку Лейбница (
члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине).
Ответ: [–1; 1).
2.95. Найти область сходимости
степенного ряда:
1) 
; 2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10)
11)
12)
13)
14)
Формула Маклорена (разложение функции в ряд по степеням х)
~
Разложения в ряд Маклорена некоторых функций
2.96. Разложить функцию в ряд по степеням x и указать область сходимости полученного ряда:
1)
2)
3)
4)
;
5)
6)
7) 
8)
9)
10)
11) 
12) 
2.97. Найти решение задачи Коши в виде степенного ряда (первые три члена ряда):
1) 
2) 
3) 
4) 
Указание.Найти первые три члена ряда по формуле Маклорена.
Формула Тейлора (разложение функции в ряд
по степеням (х – а)
~
2.98. Разложить в ряд функцию:
1) 
по степеням (х – 1);
2) 
по степеням (х + 1);
3) 
по степеням (x + 2);
4) 
по степеням (x – 1).
2.99. Вычислить приближенно с заданной точностью:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7)
8)
9)
10)
Контрольные задания
1. Исследовать ряд на сходимость:
1) 
4) 
2) 
5) 
3) 
6) 
2. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
1) 
2) 
3) 
3. Найти область сходимости ряда:
1) 
2) 
3)
4. Разложить в ряд функцию:
по степеням (х–1);
по степеням (х+1);
по степеням (x+2).
5. Вычислить приближенно с заданной точностью:
1. а)
б) 
2. а)
б) 
3. а) 
б) 
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ