Степенные ряды

Пример 2.24.

Исследовать на сходимость ряд:

Решение.

1. необходимо применить один из признаков сходимости положительных рядов – признак сравнения.

При ~~сравним исходный ряд с расходящимся рядом .

исходный ряд расходится.

2. Применим признак Даламбера (найдем ):

ряд сходится.

3. Применим радикальный признак Коши (найдем ):

ряд расходится.

4. Применим интегральный признак Коши. Функция непрерывная, убывающая и положительная на промежутке [1; ∞).

Интеграл сходится, следовательно, и ряд сходится.

Замечание. С помощью интегрального признака Коши можно доказать, что ряд сходится при р > 1 и расходится при р ≤ 1.

2.93. Исследовать ряд на сходимость:

2) 3)

5) 6) 7) 8)

17) 18) 19) 20)

2.94. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:

1) 2) 3) 4) 5)

6) 7) 8) 9) 10)

Определение. Степенным рядом называется сумма

где а_п

Множество значений х, при которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

Любой степенной ряд сходится при х = 0 (его сумма S равна а₀), т. е. область его сходимости непуста.

Схема нахождения области сходимости степенного ряда

1. Найти радиус сходимости ряда

Если R ≠ 0, то ряд сходится на интервале (− R; R).

2. Если R ≠ 0, исследовать ряд на сходимость при х = R и х = −R. В случае сходимости присоединить точку (точки) к интервалу.