С постоянными коэффициентами

Уравнение с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения

Определение. Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные или её дифференциалы. В случае, когда неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, зависит только от одной независимой переменной, дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений.

у' = f₁(x)×f₂(y).

Решение.

dy/dx = f₁(x)×f₂(y) |× dx/ f₂(y), f₂(y) ≠ 0,

dy/ f₂(y) = f₁(x)× dx,

общее решение (общий интеграл) уравнения.

Случай f₂(y) = 0 рассматривается с помощью подстановки в исходное уравнение.

Пример 2.15. Решить уравнение

Решение.

dy/dx = у²сosx |× dx/у², у ≠ 0,

dy/у² = cosxdx,

–1/y = sinx + C,

y = –1/(sinx + C) – общее решение.

Рассмотрим случай у = 0.

Подставляя в исходное уравнение у = 0, получаем:

0' = 0²cosx, 0 = 0 – верно Þ у = 0 – решение уравнения.

Это решение не может быть получено как частное решение общего решения ни при каком значении С.

Ответ: y = –1/(sinx + C), у = 0.

2.81. Решить уравнения:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

2. Однородные уравнения 1-го порядка

Уравнения решают с помощью замены

После подстановки z и в исходное уравнение получается уравнение с разделяющимися переменными (см. п. 1).

2.82. Решить уравнения:

1) 2) 3)

4) 5)

6)

3. Линейные уравнения 1-го порядка

у' + p(x)×y = f(x),

где p(x), f(x) – непрерывные функции

Пример 2.16. Решить уравнение у' + xy = x.

Решение.

Пусть тогда и уравнение принимает вид

Группируя первое и третье слагаемые, получаем

Равенство будет верным, если

Найдем частное решение первого уравнения системы:

Подставим полученное решение во второе уравнение системы и найдем его общее решение:

C помощью замены получаем общее решение:

Подставляя найденные решения и в равенство получаем решение исходного уравнения:

Ответ:

Задача Коши для уравнения 1-го порядка имеет вид

Пример 2.17.

Решить задачу Коши

Решение.

Найдем общее решение уравнения :

dy/dx = х²у |× dx/у, у ≠ 0,

dy/у = x² dx,

ln|y| = х³/3 + С.

Подставим в это решение х = 2 и у = 1 (см. условие у(2) = 1):

ln|1| = 2³/3 + С,

0 = 8/3 + С Þ С = – 8/3.

Подставляя это значение в общее решение, получаем

Ответ: ln|y| = (х³– 8)/3.

2.83. Решить уравнение или задачу Коши:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

4. Линейные однородные уравнения 2-го порядка

где p, q R.

Решение.

Составим характеристическое уравнение и решим его.

Возможны три случая:

1) k_1,2R, k₁≠ k₂(дискриминант D > 0);

2) k_1,2R, k₁= k₂ = k (D = 0);

3) k_1,2 = C (D < 0).

Каждому из этих случаев соответствует общее решение уравнения:

1)

2)

3)

Пример 2.18.

Решить уравнения:

Решение.

1) Ответ:

2) Ответ:

3) Ответ:

Ответ:

2.84. Решить уравнения:

1) 2) 3)

4) 5)

6) 7) 8)

5. Уравнения вида y⁽ⁿ⁾ = f(x)

Решение.

…,

Пример 2.19.

Решить уравнение: 1. 2.

Решение.

Ответ:

2.85. Установить вид частного решения неоднородного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, если:

1) 2)

2.86. Решить уравнение или задачу Коши:

1) 2)

2.9. Последовательности и ряды

Определение. Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента

Пример 2.20.

Найти первые три члена последовательности

Решение.

2.87. Найти пять первых членов последовательности , если:

1) 2) 3) 4)

2.9.1. Предел последовательности

Определение. Число А называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такой номер N = N(ε), что для всех n ≥ N будет выполняться неравенство ǀа_n − Aǀ < ε.

Пример. Доказать, используя определение предела последовательности, что предел последовательности равен нулю.

Решение.

Пусть ε > 0. Составим неравенство и решим его относительно n. Получаем:

Итак, для любого ε > 0 существует такой номер (или целой части дроби), что для всех выполняется неравенство , т. е. предел последовательности равен нулю. Например, при ε = 0,1 N = 21.