Пример 2.14.
Исследование функции на экстремум
Частные производные 2-го порядка.
Пример 2.13.
Градиент функции
Частные производные, дифференциал,
Определение. Частные производные функции z = z(x, y):
если пределы существуют.
Определение. Дифференциалом функции z = z(x, y) называется выражение
Определение. Градиентом функции z = z(x, y) называется вектор
Найти частные производные 
и 
(или 
и 
) функции
Решение.
2.68. Найти и :
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
2.69. Найти дифференциал функции z в точке М(–2; 1):
1) 
если 
2) 
если 
2.70. Найти градиент и линию уровня функции в точке Р, сделать рисунок:
1) 
2) 
3) 
4) 
2.71. Найти модуль градиента функции:
1) 
в точке А(1; –2; 0);
2) 
в точке А(0; 1; –2).
Найти частные производные второго порядка функции
z = x2y3+2y.
Решение.
= 
= 
= 2y3
= 2y3,
=
=
= 2х
= 6xy2,
=
= 
=3y2
= 6xy2,
=
= 
= 3х2
= 6x2y.
2.72. Найти частные производные второго порядка 
:
1) 
2) 
3) 
4) 
2.73. Доказать, что если 
то 
Схема исследования функции z = z(x, y) на экстремум:
1. Найти частные производные 
, 
и решить систему уравнений
Решениями системы будут критические точки функции.
2. Найти частные производные 2-го порядка.
3. Для каждой критической точки вычислить определитель
Если ∆ > 0, то критическая точка является точкой максимума/минимума функции при условии < 0/> 0.
Если ∆ < 0, то критическая точка не является точкой экстремума.
Если ∆ = 0, то требуется дополнительное исследование (изучается вопрос о знакопостоянстве функции в окрестности критической точки).
4. Вычислить экстремумы функции, подставив координаты точек экстремумов в уравнение z = z(x, y).