Пример 2.7.

Пример 2.6.

Примеры.

Примеры 2.5.

Неопределенный интеграл

Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство F′(x) = f(x).

Определение.Неопределенным интегралом от функции f(x) называется семейство ее первообразных:

где F(x) – некоторая первообразная для f(x),

C – произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла

Таблица интегралов

1.

2.

3. Частный случай:

4.

5.

6.

7.

8.

Частный случай:

9.

Частный случай

10.

11.

2.50. Найти интегралы:

1) 2) 3)

4) 5)

6)

7) ; 8) ; 9) ; 10) ;

11) ; 12) ; 13) ; 14) .

2.51. Найти интегралы:

1) 2) 3) ; 4) ;

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

13) ; 14) ; 15) ; 16) ;

17) 18)

2.5.1. Метод замены переменной

в неопределенном интеграле

где – дифференцируемая функция.

2.52. Найти интегралы методом замены переменной:

1) 2) 3)

4) ; 5) 6)

7) ; 8) 9)

10) ; 11) 12) ;

13) 14) 15) ;

16) ; 17) ; 18)

2.53. Найти интегралы от рациональных функций.

1) ; 2) ; 3) dx;

4) ; 5) ; 6) ;

7) 8) 9) dx;

10) ; 11) ; 12)

2.54. Найти интегралы от иррациональных функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

5) 6) ; 7)

2.55. Найти интегралы от тригонометрических функций:

1) 2) 3) 4)

5) ; 6) ; 7) 8)

9) 10) 11)

2.5.2. Метод интегрирования по частям

в неопределенном интеграле

Пусть u= u(x), v= v(x)– дифференцируемые функции. Тогда справедливо равенство (формула интегрирования по частям):