Достаточные критерии локального экстремума.

Теорема. Пусть - стационарная точка функции (т.е. ) и имеет вторую непрерывную производную в окрестности . Тогда:

если , то есть точка локального максимума ;

если , то есть точка локального минимума .

Теорема. Пусть и и непрерывна в окрестности точки , тогда:

если - четное и , то имеет в локальный максимум;

если - четное и , то имеет в локальный минимум;

если - нечетное и , то заведомо не имеет в локального экстремума.

Кроме того. Если первая производная функции при переходе через точку меняет знак, то имеет в точке минимум, если знак меняется (при возрастании ) с «-» на «+», и максимум, если знак меняется с «+» на «-».

Вогнутость, выпуклость, точки перегиба.

Кривая обращена в точке выпуклостью вверх (вниз), если существует окрестность такая, что для всех точек этой окрестности касательная к кривой в точке расположена выше (ниже) самой кривой (см. рис.).

Точка есть точка перегиба кривой , если при переходе через точка кривой переходит с одной стороны касательной на другую.

Теорема. Если функция имеет в точке вторую непрерывную производную и (), то кривая обращена в выпуклостью книзу (кверху).

Доказательство вытекает из понятия локального максимума, минимума.

Если функция такова, что производная непрерывна в , а и , то кривая имеет в точку перегиба.

Асимптоты графика функции.

Прямая называется вертикальной асимптотой , если (см. рис.).

Прямая называется наклонной асимптотой непрерывной функции , если .

Линия называется асимптотической кривой для , если .

Пример. Построить график функции . Составим таблицу

	возрастает асимптота		убывает	вертикальная асимптота	убывает		возрастает асимптота
	выпукла кверху		выпукла кверху		выпукла книзу		выпукла книзу

График имеет вид.