Теорема ( Коши).

Если функции и непрерывны на и дифференцируемы на , и в , то существует точка такая, что

Доказательство. Отметим, что , так как в противном случае, по теореме Ролля, нашлась бы точка такая, что , чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию

В силу условия теоремы эта функция непрерывна на , дифференцируема на и , . Применяя теорему Ролля, получим , что существует точка , в которой . Но

Поэтому, подставляя вместо точку , получим утверждение теоремы.

Теорема 13 (Лагранжа).

Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет производную на интервале . Тогда существует на интервале точка , для которой выполняется равенство

Доказательство. Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл, если ее записать в виде

То есть теорема Лагранжа утверждает, что на графике всегда найдется точка , что касательная к ней параллельна хорде, стягивающей концы кривой .

Правило Лопиталя.

Пусть и определены и дифференцируемы в окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , , и в этой окрестности. Тогда, если существует , то существует и имеет место равенство

Доказательство. Будем считать, что конечное число. Доопределим функции и в точке , полагая . Тогда эти функции непрерывны в точке . Рассмотрим отрезок , где , или . На функции и непрерывны, а на дифференцируемы, поэтому по теореме Коши существует точка такая, что