Дифференциал функции.

Пусть функция определена в окрестности и имеет производную в этой точке

При этом . Тогда для достаточно малых можно записать

Причем при . В этом случае приращение функции можно записать в виде

Или

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде

где не зависит от , но вообще зависит от .

Теорема 9. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой точке.

Таким образом, сказать, что имеет производную в точке или что дифференцируема в точке - это одно и то же. Поэтому процесс нахождения производной называют дифференцированием функции.

Доказательство.

Достаточность условия доказана выше: из существования конечной производной следовала возможность представления в виде , где можно положить .

Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда, если , можно записать

Предел левой части при существует и равен :

Это означает, что существует производная .

Геометрический смысл дифференциала.

Итак, приращение функции можно представить в виде

Первое слагаемое пропорционально , т.е. оно - линейная однородная функция от . Второе, является бесконечно малой высшего порядка малости , т.е. оно стремится к нулю быстрее, чем первое. В связи с этим первое слагаемое называется главным членом приращения (при ). Это слагаемое называют дифференциалом функции и обозначают символом . Итак, по определению

На рисунке - касательная к кривой в точке , , приращение функции соответствует приращению аргумента . При этом

Вообще говоря . Равенство выполняется только для линейной функции. В этом случае дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой . Поэтому дифференциал произвольной функции записывают обычно так