Замечательные пределы

1.

Так как функция является непрерывной, то при . Поэтому выражение представляет собой неопределенность типа . Предел раскрывает эту неопределенность.

2.

Пример. . Получается из второго замечательного предела заменой .

Пример.

Если , то и

Пример. , .

Доказательство.

Пример. , .

Доказательство. Положим . Тогда

8. Непрерывные функции. Определение непрерывности с помощью приращений.

На рисунке изображен график функции . Зададим точку . Близкая ей точка , где - приращение . Разность

называется приращением функции в точке , соответствующим приращению . На рисунке , .

Будем стремить к нулю. Тогда для рассматриваемой функции и будет стремиться к нулю

Рассмотрим теперь график другой функции . Придадим теперь приращение и определим соответствующее приращение функции

Если мы будем стремить к нулю, то теперь уже нельзя сказать, что стремится к нулю.

Теперь можно дать определение.

Функцию , заданную на отрезке , называют непрерывной в точке этого отрезка, если приращение ее в этой точке, соответствующее приращению , стремится к нулю при любом способе стремления к нулю.

Это свойство непрерывности в точке записывают в виде

В противном случае функция называется разрывной.

Функция непрерывная в любой точке отрезка (интервала), называется непрерывной на этом отрезке (интервале).

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе и в самой точке , и если ее приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента , стремится к нулю при

Либо ; ;

.

Пример. Функция непрерывна для любого . В самом деле.

Но для любого имеет место неравенство . Если , то это следует из рисунка (длина дуги больше стягивающей ее хорды). Отсюда следует

Но тогда, очевидно, . Что и требовалось доказать.

Т. Если функции и непрерывны в точке , то непрерывны также в этой точке их сумма, разность, произведение и частное (при ).

Пример. Функция непрерывна. Она является композицией двух непрерывных функций: , и .

Точки разрыва и их классификация.

Пусть функция – имеет предел в точке слева (справа). Если:

а сама функция в точке не определена, то эта точка называется устранимой точкой разрыва.

Если функция такова, что существуют пределы в точке , но верхнее равенство не выполняется, то функция в точке имеет разрыв первого рода.