Формула для гармонически спряженной функции

ГАРМОНИЧЕСКИ СОПРЯЖЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Лекция №8

Пусть дана функция U(z), гармоническая в {|r|< 1}, для которой имеет место одно из рассматриваемых представлений. Мы приступаем к исследованию граничного поточечного пове­дения функции, гармонически сопряжённой с U. Функция V(z) называется гармонически сопряжённой с U(z), если U(z)+iV(z)— аналитическая функция в {|r|<1}. Сопряжённые функции определены с точностью до прибавления константы; работая в единичном круге, обычно требуют, чтобы V(0)=0; полученная таким образом гармонически сопряжённая с U(z) функция V(z) обозначается через Ũ(z). Обозначение гармонически сопряжённой функции с помощью волны („тильды") общепринято.

Предположим, что

,

 

тогда

где, sign 0=0

В самом деле, функция Û(reiѲ) гармонична в единичном круге, Û(0)=0

Кроме того

аналитическая функция в единичном круге

Теперь, если

где мера на [-π;π], то в вышеприведенном разложении функции U в ряд . Рассматривая разложение в ряд для Û, видим, что

назовем

сопряженным ядром Пуассона. непосредственным суммированием двух геометрических прогрессий найдем, что

Таким образом справедлива теорема

 

Теорема Если , то гармонически спряженная U функция Û задается формулой

 

Интегральное представление классов

Важную роль в изучении классов играет интегральное представление функций из этих классов.

Сначала докажем следующее утверждение:

Теорема .Пустьгде – класс Соболева в . Если при этом существует такое число , что и при , то при всех справедливо представление

(2.5)

где, как обычно,

Доказательство. Пусть фиксировано, положим

Тогда, записав формулу Коши-Грина для функции (см. [31]), имеем:

Используя условие теоремы, получаем:

Упростим подынтегральное выражение:

Следовательно, из равенства (2.5) имеем:

Положив , получаем:

□

Из данной теоремы непосредственно следует:

ТеоремаПусть . Тогда если или то справедливо представление

Доказательство непосредственно следует из теоремы 2.3, если учесть, что , при этом в условиях теоремы при .

□

Из интегрального представления классов вытекает:

Теорема. Пространство при относительно нормы

является банаховым, а при – квазибанаховым пространством.

Доказательство. Пусть . Обозначим через пространство измеримых в функций , для которых соответствующий интеграл конечен.

Хорошо известно, что пространство при банахово, а при квазибанахово. Поэтому достаточно установить, что является замкнутым подпространством пространства при всех .

Предположим, что – последовательность из , а функция такая, что при .

Докажем, что . Используя оценку (2.1), имеем:

.

Отсюда следует, что последовательность равномерно сходится внутри к некоторой функции . Учитывая теорему Ф. Рисса (см. [17]), нетрудно подобрать подпоследовательность такую, что почти всюду в . Поэтому почти всюду в , и следовательно, . □