Общее уравнение динамики Даламбера-Лагранжа

Принцип возможных перемещений также к системе находящихся в движение.

Расмотрим систему точек с идеальными связями. Тогда к- этой точки момент записать:

Где и - равнодействующих активных сил и динамических реакций связи.

Иначе:

К – той точки возможное измещение , заменяем уравнение возможных работ всей системы.

и

т.к , для идеальных связей.

В случае равновесия сил, обобщенная сила всех заданных сил равна нулю, т.е.

;

При равновесии консервативной системы обобщенная сила равна частной производной от потенциальной энергии; по обобщенным координатам равна нулю.

Однако системы могут иметь несколько равновесных положений. Положение А является устойчивым равновесием, так как при малых отклонениях система вернётся в исходном положении. Если не вернётся (В), то равновесие неустойчивое.

φ
φ
С точки зрения потенциальной энергии, устойчивое равновесие будет тогда, когда П имеет min.

Критерий минимума функции П:

(1)

Критерий устойчивости равновесия:

(2)

(2) формула выражает теорему Лагранжа-Дирихле об устойчивости равновесия консервативной системы с одной степенью свободы.

Если система имеет s-степеней свободы, то там устойчивое равновесие определяется критерием Сильвестра.

 

ТЕОРИЯ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ

 

Теорема малых колебаний, начав свое развитие с изучения движения маятника, превратилась в самостоятельную дисциплину, с весьма сложным математическим аппаратом.

Развитие вычислительной техники дало возможность решать очень большой класс задач для систем с n-степенями свободы. Для описания колебательных процессов и их количественной оценки, динамических характеристик, необходимо определиться с равновесным, устойчивым состоянием системы.