Властивості границь функції

1.Якщо існує lim f(x) , то f(x) обмежена.

2. Якщо f(x) при xa має границю, то вона єдина.

3. Якщо існує lim(x)=A i lim q(x)=A , то lim f(x) A, де (х)f(x)q(x).

4. Якщо існує lim f1 (x)=A1 i lim f2 (x)=A2 i f1f2 x u (a) =>

lim f1(x) lim f2 (x)

5. Якщо lim f(x) i q(x), xa, то

а) lim (f(x) q(x)) = lim f(x)lim q(x)

б) lim f(x)q(x) = lim f(x)lim q(x)

в) lim C f(x) = C lim f(x)

г)

6. lim C = C

7.lim f(x) = f(lim x)

Дов. 1-ого u (a) таке, що 1> |f(x)-A||f(x)|-|A|, (x u(a), xa)

|f(x)1+|A|, де M = 1+|A| => f(x)- обмежена

5. НЕСКІНЧЕННО МАЛІ ТА НЕСКІНЧЕННО ВЕЛИКІ ФУНКЦІЇ.

Озн.1 Якщо lim f(x) = 0, то f(x), є н.м., а якщо lim f(x) = ,

f(x)-нескінченно велика.

Як і для послідовностей має місце твердження. Якщо ф-я н.м. при xa i f(x)0 xa з будь-якого околу а , то ф-я - н.в. при xa і навпаки.

Теорема ( зв’язку границі функції і н.м. )

Для того, щоб число А було границею ф-ї f(x) при необхідно і достатньо, щоб ф-я f(x) була рівна сумі числа А і , де

lim =0 –н.м.

Доведення.

Необхід. lim f(x) = A => f(x) = A+ (x), (x)-н.м. За означ. lim f(x)=A

=>E>0 >0 |f(x)-A| <E, |x-a| <=>за озн. 5 ф-ції f(x)-A=

(x)-н.м. f(x)= A+(x)

Достат. f(x) =A+(x) де (x) – н.м. при xa => lim f(x)= A

lim f(x) = lim (A+(x)) = lim A +lim (x)= A+0=A

Порівняння нескінченно малих

Розглянемо 2 ф-ії та , які задані в деякому проміжку U(x₀) , за винятком можливо самої т. x₀, x₀, може бути скінченною або нескінченною.

Нехай (x) 0 на U(x₀) ____________________________

U(x₀)

Озн.2 Фун-ії та наз. Нескінченно малими одного і того ж порядку малості при xx₀ , якщо

Озн.3 Ф-ія наз. нескінченно малою ф-єю більш високого порядку малості, ніж при xx₀, якщо ;

І більш низького порядку малості , ніж , якщо

Озн.4 Ф-ії та наз. непорівняними , н.м.ф. при x x₀, якщо не існує і не дорівнює .

Озн.5 Ф-ії та - н.м. при xx₀ наз. еквівалентними, якщо т.б. ~

Таблиця еквівалентності н.м.ф.

1)~ 5) e-1~

2) 6) b-1~ln b

3) 7) ln ((x)+1)~(x)

4) 8) (1+(x))^p-1~ p(x)

Приклад

Властивості б/м ф-ї

1. Алгебраїчна сума зкінченного числа н.м. ф-ій є ф-я н.м.

2. Добуток скінченого числа н.м. ф-ій є ф –я н.м.

3. Добуток н.м. ф-ї на обмежену є ф-я н.м.

Розкриття невизначених виразів:

ділення чисельника та знаменника на найвищу степінь х.

скоротити чисельник та знаменник на х-а

а) перетворенням виразів чисельника та знаменника

б) домноженням на спряжене знаменник та чисельник

в) використання таблиці еквівалентів н.м.

г)використання 1-ї чудової границі.

використання 2-ї чудової границі.

Всі інші перетворюються в ці оснсвні.

6. НЕПЕРЕРВНА ФУНКЦІЯ

Озн.1 Ф-я f(x), x[a,b] наз-ся неперервною в x₀ [a,b], якщо границя ф-ї f(x) в т.x₀ iснує і дорівнює значенню ф-ї в цій точці: lim f(x)=lim f(x₀)

Озн.2 Ф-я f(x) наз. неперервною в т.x₀, якщо вона визначена в околі точки і границя приросту функції в цій точці дорівнює 0, якщо

^y

y _ _ _ _ _ _ _ _ _ ­­­_

lim f(x) = 0 y₀_^y _ _ _ _ _ _ _

0 x₀ x x ^x

Озн.3 Ф-я f(x) наз. неперервною зліва в т. x₀, якщо lim f(x)=f (x₀) і

^-0

неперервною справа, якщо lim f(x)= f(x₀)

⁺⁰

Озн.4. Ф-я f(x) наз. неперервною на будь-якому інтервалі (a,b),якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.

 

Властивості функції неперервної в точці на відрізку

 

1. Сума скінченого числа ф-ій , неперервних на будь-якому проміжку (а,в) у точці х₀, є ф-я неперервна в цій точці.

2. Добуток скінченого числа ф-й, неперервних в точці х₀, є неперервна ф-я в точці ч₀ .

3. Частика двох функцій, неперервних в точці х₀ є ф-я неперервна в т.х₀, якщо значення ф-ії в знаменнику не дорівнює 0 в х₀.

4. Якщо f(x) неперервна то lim f(x) = f (lim x)

5. Якщо ф-я f(x) неперервна на [a,b] і на його кінцях приймає значення різних знаків, то на [a,b] знайдеться хоча б одна точка, в якій ф-я дорівнює 0.

6.Якщо ф-я неперервна на [a,b] то на ньому існує найбільше i найменше значення функції.