Якщо посл-ть монотонно зростає ( спадає ) і обмежена зверху ( знизу ), то має границю

ⁿ = e

Доведення. Розглянемо посл-ть {x _n},x _n=,, ... Доведемо, що вона збіжна. Для цього необхідно довести , що вона зростає та обмежена зверху. За формулою Бінома-Ньютона (a+b)ⁿ= +, – число сполучень, к

.

… і коли 0<k<n - зростаюча і обмежена знизу ще бачимо що і т.д. в розкладі <1, а при n>2

за фор-лою суми геом. прогресії -

обмежена зверху.

3. НЕСКІНЧЕННО МАЛІ , ТА НЕСКІНЧЕННО ВЕЛИКІ ПОСЛІДОВНОСТІ

Озн.1 Послідовність, яка має границю 0 наз-ся нескінченно малою.

Озн.2 Послідовність {} наз-ся нескінченно малою, якщо >0 номер N такий, що при n>N виконується нер-ть |_n| < .

Власт. 1) Сума двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Доведення.

Нехай {} і - н.м. пос. Доведемо, що пос-ть - н.м. Нехай – н.м. > 0. N – номер , починаючи з якою |_n|<; N₂|_n| < ( за озн.1 ). Візьмемо N= max {N₁ N₂} тоді при n< N будуть одночасно виконуватись нер-ті.

при n>N

2 ) Добуток двох н.м.п. на обмежену послідовність є н.м.п.

Доведення.

Нехай -обмежена, -н.м.п .Доведемо що - н.м . З обмежен.випливає, що вона обмежена А>0; .Візьмемо <0.Т.як -н.м.,то для номер N такий, що при n>N виконується нер-ть ,тоді при n>N -н.м.

3 ) Добуток неск. малих посл-тей є н.м.п.

Доведення.

Нехай -н.м.п. Доведемо, що -н.м.Т.як -н.м., >0 N₁ такий, що при n<N₁, а т.як -н.м. =1, N_{2 ,} при n>N₂ .Візьмемо N=max виконуються обидві нер-ті для n>N -н.м.

Наслідок з 3-х властивостей – сума, добуток будь-якого числа н.м. пос—тей є пос-ть н.м.

Теорема. Для того, щоб змінна a _n мала границю а необхідно і достатньо, щоб a _n= a +, де - нескінченно мала.

Озн.3. Послід-ть назив. нескінченно великою ( н.в.), якщо M>0 , знайдеться таке n ₀, що , при тому записують:

Властивості.

1) Якщо а _n - має границю а, а b _n - н.в. то

2) Якщо має границю знизу, а b _n=0 – н.м. пос-ть, то