Решение типовых примеров темы.

Пример. Случайная величина задана функцией распределения:

Требуется: а) найти плотность вероятности, коэффициент и построить графики соответствующих функций; б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ; в) определить вероятность того, что случайная величина попадет в промежуток .

Решение. Функция является кусочно-дифференцируемой.

а) По определению плотности вероятности, дифференцируя по интервалам ее задания, получаем

.

Постоянную найдем, используя свойство 4 плотности распределения:

,

откуда .

Сроим графики функции и плотности распределения вероятности:

б) Для определения математического ожидания случайной величины воспользуемся соответствующей формулой: . Заметим, что подынтегральная функция – нечетная, а промежуток интегрирования – симметричный относительно нуля, поэтому интеграл, а, следовательно, и . Равенство математического ожидания нулю следует и из симметричности графика плотности вероятности относительно оси ординат.

Найдем дисперсию . Замечаем, что подынтегральная функция – четная, а промежуток интегрирования – симметричный относительно нуля, поэтому

.

в) Вероятность найдем двумя способами:

1) используя свойство 4 функции распределения:

;

2) используя свойство 2 плотности распределения:

.

Пример. Задана непрерывная случайная величина своей плотностью распределения :

.

Требуется: а) определить коэффициент и построить график плотности распределения; б) найти функцию распределения и построить ее график; в) определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины ; г) определить вероятность того, что случайная величина попадет в интервал .

Решение. а) Найдем коэффициент :

.

Построим график плотности вероятности случайной величины :

б) Найдем функцию распределения:

1) На участке : .

2) На участке :

3) На участке :

Окончательно получаем .

Построим график функции распределения:

в) Находим числовые характеристики :

.

.

г) Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал :

.

Эту же самую вероятность можно вычислить другим способом:

.

Задача 9.

Решение задачи 9 основано на знание особенностей нормального распределения непрерывных случайных величин. Теоретические основы этого распределения представлены ниже.

Нормальный закон распределения

Нормальным законом распределения (законом Гаусса) непрерывной случайной величины с параметрами и называется распределение, которое описывается плотностью вероятности

.

Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Кривую нормального распределения называют нормальной или гауссовой кривой.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1.Функция определена на всей числовой оси: R.

2.При всех функция распределения принимает только положительные значения.

3.Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента , значение функции стремится к нулю.

4.Найдем экстремум функции

.

Т.к. при и при , то в точке функция имеет максимум, равный .

5.График функции симметричен относительно прямой , т.к. разность () входит в функцию плотности распределения в квадрате.

6.Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности

.

При вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб. Значение функции в этих точках равно .

7.Построим график функции плотности распределения.

Если , и меняется параметр ( ), то нормальная кривая будет изменять свою форму: кривая становится более плоской при увеличении ; и вытягивается вверх, если происходит уменьшение :

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами и называется нормированным. Уравнение нормированной кривой:

.

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины , распределенной по нормальному закону с параметрами и находятся по формулам:

, .

Теорема. Функция распределения непрерывной случайной величины , распределенной по нормальному закону с параметрами и имеет вид

и выражается через функцию Лапласа по формуле:

График функции распределения для нормального закона представлен на рисунке: