Решение типового примера.
Свойства дифференциала.
Если u=f(x) и v=g(x) – функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:
1) d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv
2) d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv
3) d(Cu) = Cdu
4)
Если приращение Dx аргумента мало по абсолютной величине, то и
.
Таким образом, дифференциал функции применяется для приближенных вычислений.
Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала.
Пусть y = f(x), x = g(t), т.е. у - сложная функция. Тогда
dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.
Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.
Пример. Вычислить приближенное значение .
Рассмотрим функцию . Полагая, и применяя формулу , учитывая, что , получаем
Задача 9.
Для решения задачи 9, кроме уже указанного материала по дифференциальному исчислению, понадобятся следующие факты.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Производной второго порядка (второй производной) функции f(x) называется производная от ее производной. Вторая производная обозначается так: или , или , или .
Физический смысл второй производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – ускорение этого движения.
Аналогично производная третьего порядка (третья производная) функции f(x) есть производная от производной второго порядка: .
Вообще, производной n-го порядка (n-ой производной) функции f(x) называется производная от производной (n-1)- го порядка: .
Если функция задана параметрически: , , то производные , вычисляются по формулам: и т.д.
Общие правила нахождения высших производных.
Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то
1) (Сu)(n) = Cu(n);
2) (u ± v)(n) = u(n) ± v(n);
3)
Это выражение называется формулой Лейбница.
Дифференциалом второго порядка функции f(x) называетсядифференциал от дифференциала первого порядка: . Аналогично определяются дифференциалы третьего, четвертого и т.д. порядков. Вообще, .
Если y=f(x) и x – независимая переменная, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам:
Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:
Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.
Пример: Найти предел .
Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = ex;
;
Пример: Найти предел .
; ;
.
Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
Пример: Найти предел .
; ;
; ;
; ;
Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой – либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).
Пример: Найти предел .
; ;
- опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.
; ;
- применяем правило Лопиталя еще раз.
; ;
;
Неопределенности вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).
Пример: Найти предел .
Здесь y = xx, lny = xlnx.
Тогда . Следовательно
Исследование функций с помощью производной.
Возрастание и убывание функций.