Доказательство.

.

.

.

Определение. Пусть - это бинарное отношение, заданное на множестве А. Отношение называется

рефлексивным, если

антирефлексивным, если

симметричным, если . Если отношение содержит только пары с одинаковыми элементами, оно, разумеется, симметрично;

антисимметричным, если

транзитивным, если

полным если

Пример 1.Определить является ли данное отношение рефлексивным, антирефлексивным, симметричным, антисимметричным, полным.

Построить график отношения .

Решение. График этого отношения – эллипс, он показан на рис. 5.

1. не рефлексивно, так как, например, пара 2×1²+1²¹4.

2. не антирефлексивно, уравнение имеет решения.

Если Þ 3х²=4Þ х =±2/. Таким образом, пары (2/, 2/) и (-2/, -2/) принадлежат .

Рис. 5

3. не симметрично, например, (, 0) Î : 2×()² = 4, но

(0, )Ï: 0 + ()² ¹ 4.

4. Докажем, что не антисимметрично. Для чего убедимся в существовании решений системы

таких, что a ¹ b. Вот они:

5. не транзитивно. Например, (, 0)Î и (0, )Î , но (, 2) Ï : 2×()² +2² ¹ 4.

6. не полное отношение, Например, ни одна из пар (1, 5); (5, 1) не принадлежит .

Пример 2. Выполнить задание примера 1 (кроме построения графика) для отношения

Решение. Исследуем отношение .

1. – рефлексивно.

2. В силу рефлективности это отношение не антирефлексивно.

3. Пусть одновременно тогда

так как х и у – целые числа. Значит, антисимметрично.

4. В силу антисимметричности отношение не является симметричным.

5. Пусть пары (х, у) и (у, z) принадлежат . Тогда

Þ .

Таким образом, транзитивное отношение.

6. Если х, у Î Z, х ¹ у, то всегда верно ровно одно из двух неравенств: или - полное бинарное отношение.

Еще несколько примеров бинарных отношений.

Рефлексивное отношение. Отношение подобия треугольников, заданное на множестве всех треугольников евклидовой плоскости: каждый треугольник подобен себе самому.

Антирефлексивное отношение. Отношение перпендикулярности прямых, заданное на множестве всех прямых евклидовой плоскости: никакая прямая не перпендикулярна себе самой.

Симметричное отношение. Отношение “проживать в одном доме” заданное на множестве всех жителей некоторого города: если a живет в одном доме с b, то b живет в одном доме с a.

Антисимметричное отношение. Отношение “меньше”, заданное на множестве действительных чисел: если a < b, то b ³ a.

Транзитивное отношение. Отношение “больше”, заданное на множестве действительных чисел: если a > b и b > c, то a > c.

Полное отношение. Отношение “быть старше”, заданное на множестве родных братьев и сестер некоторой семьи: если а ¹ b, то либо а старше b, либо b старше а (на несколько лет или минут).