Системы с резервированием. Общие понятия

Работоспособность систем без резервирования требует работоспособности всех элементов системы. В сложных технических устройствах без резервирования никогда не удается достичь высокой надежности даже, если использовать элементы с высокими показателями безотказности.

Система с резервированием – это система с избыточностью элементов, т. е. с резервными составляющими, избыточными по отношению к минимально необходимой (основной) структуре и выполняющими те же функции, что и основные элементы.

В системах с резервированием работоспособность обеспечивается до тех пор, пока для замены отказавших основных элементов имеются в наличии резервные.

Структурное резервирование может быть:

По виду резервирование подразделяют на:

· пассивное (нагруженное) – резервные элементы функционируют наравне с основными (постоянно включены в работу);

· активное (ненагруженное) – резервные элементы вводятся в работу только после отказа основных элементов (резервирование замещением).

При нагруженном резервировании резервные элементы расходуют свой ресурс, имеют одинаковое распределение наработок до отказа и интенсивность отказов основных _о и резервных _н элементов одинакова (_о = _н).

При нагруженном резервировании различие между основными и резервными элементами часто условное. Для обеспечения нормальной работы (сохранения работоспособности) необходимо, чтобы число работоспособных элементов не становилось меньше минимально необходимого.

Разновидностью нагруженного резервирования является резервирование с облегченным резервом, т. е. резервные элементы также находятся под нагрузкой, но меньшей, чем основные. Интенсивность отказов резервных элементов _об ниже, чем у основных _о, т. е. _о > _об.

При нагруженном резервировании резервные элементы не подвергаются нагрузке, их показатели надежности не изменяются и они не могут отказать за время нахождения в резерве, т. е. интенсивность отказов резервных элементов _х = 0.

Примеры ненагруженного резервирования:

Резервные элементы включаются в работу только после отказа основных элементов. Переключение производится вручную или автоматически (автоматически – включение резервных машин и элементов в энергетике, в бортовых сетях судов и самолетов и т. д.; вручную – замена инструмента или оснастки при производстве, включение эскалаторов в метро в часы «пик» и т. д.).

Разновидностью ненагруженного резервирования является скользящее резервирование, когда один и тот же резервный элемент может быть использован для замены любого из элементов основной системы.

Если рассмотреть два характерных вида резервирования:

то очевидно, что при равенстве числа основных и резервных элементов ненагруженный резерв обеспечивает большую надежность. Но это справедливо только тогда, когда перевод резервного элемента в работу происходит абсолютно надежно (т. е. ВБР переключателя должна быть равна 1,0). Выполнение этого условия связано со значительными техническими трудностями или является иногда нецелесообразным по экономическим или техническим причинам.

Обозначим:

n – число однотипных элементов в системе;

r – число элементов, необходимых для функционирования системы.

Кратность резервирования – это соотношение между общим числом однотипных элементов и элементов, необходимых для работы системы:

k = (n - r)/r.

Кратность резервирования может быть целой, если r = 1, или дробной, если r > 1.

Например:

r = 1 , k = (3 - 1)/1 = 2.

Контрольные вопросы:

1. Основные цели и задачи расчета показателей надежности систем?

2. Определите состав рассчитываемых показателей безотказности системы?

3. Перечислите и поясните основные этапы расчета надежности систем?

4. Что такое структура надежности?

5. Что такое математическая модель расчета надежности?

6. Какие виды резервирования существуют. В чем отличие нагруженного и ненагруженного резервирования?

7. Что такое кратность резервирования и в чем отличие целой и дробной кратности?

Глава 9. НАДЕЖНОСТЬ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ

Основные системы (ОС) являются простейшими техническими системами, в которых отказ одного элемента приводит к отказу всей системы.

Работоспособность основной системы обеспечивается при условии, когда все n элементов системы находятся в работоспособном состоянии.

Поскольку события, заключающиеся в работоспособности элементов системы, являются независимыми, то

вероятность безотказной работы (ВБР) ОС:
вероятность отказа (ВО) ОС:

При идентичных элементах ОС P1(t) = … = Pn(t) = P(t):

Поскольку на участке нормальной эксплуатации наработку до отказа можно описать экспоненциальным распределением каждого элемента

P_i(t) = exp( -_i · t),

где _i = const, то

ВБР ОС:

Используя уравнение связи показателей безотказности, выражающее ВБР любого объекта, в том числе и системы

и полагая

получаем, что интенсивность отказов (ИО) ОС равна сумме ИО элементов:

В общем случае, для любого распределения наработки ИО системы равна:

Для n идентичных элементов ₁(t) = … = _n(t) = (t):

При экспоненциальном распределении наработки до отказа каждого из n элементов ОС P_i(t) = exp( -_i · t), где _i = const показатели безотказности ОС определяются:

	Неидентичные элементы   1 = … = n =	Идентичные элементы 1 = … = n =
ВБР:
ВО:
ИО:
МО наработки до отказа:

Выражения для МО наработки до отказа получены из формулы:

ПРО:

fс(t) = - d Pс(t)/ dt = с exp( - t · с );

fс(t) = n · · exp( - n · t · )

Таким образом, при экспоненциальной наработке до отказа каждого из n элементов, распределение наработки до отказа ОС также подчиняется экспоненциальному распределению.

Для ОС надежность меньше надежности каждого из элементов. С увеличением числа элементов надежность ОС уменьшается.

Например, при n = 1000, P_i(t) = 0,99, P_с(t) < 10 ^{- 4} и средняя наработка до отказа системы в 1000 раз меньше средней наработки каждого из элементов.

Распределение норм надежности основной системы по элементам.

Выбор того или иного способа зависит от имеющейся информации о проектируемой системе.

1. Распределение надежности по принципу равнонадежности элементов:

Задано: по техническому заданию P_с(t); n – число элементов системы.

Распределение наработки до отказа элементов – экспоненциальное.

При идентичных (равнонадежных) элементах (₁ = … = _i = … = _n= ):

интенсивность отказа i–го элемента: ln P_с(t) = - n · · t.

2. Распределение надежности с учетом данных о надежности аналогов.

Задано: по техническому заданию ТЗ P_с(t); n – число элементов системы;

интенсивности отказов аналогов – _аi ,.

Определяется доля отказов системы из-за отказов i–го элемента:

k_i = _аi / _ас,

где – ИО системы по данным об аналогах.

Определяется ИО проектируемой системы: P_с(t) = exp( - с · t )

с = - ln P_с(t) / t (с > 0; ln P(t) < 0),

и ИО составляющих элементов:

_i = k_i · с .

3. Распределение надежности с учетом перспектив совершенствования элементов.

Задано: по техническому заданию ТЗ P_с(t); n – число элементов системы;

Изменение ИО аналогов за временной период [19XY по 200Z] годы, аппроксимировано выражением _аi = (_аi , 19 XY),

где _аi – ИО i–го аналога в 19XY году.

По выражению _аi = (_аi , 19 XY) экстраполируется ИО элементов – аналогов к нынешнему году (году проектирования системы), получаются: _а1(94),…, _аi(94), ….

Определяется доля отказов системы из-за отказов i–го элемента:

и ИО элементов системы:

_i = k_i · с = k_i ·(- ln P_с(t) / t).

Принципы распределения показателей надежности по 2 и 3 способам отличаются лишь экстраполяцией значений на год проектирования.

Контрольные вопросы и задачи:

1. Что такое основная система и в чем состоит условие ее безотказной работы?

2. Как определяются показатели безотказности основной системы: ВБР и ИО?

3. Как определяются показатели безотказности основной системы: ПРО и МО наработки до отказа?

4. Какой закон распределения наработки до отказа будет иметь основная система, если законы распределения наработки до отказа элементов являются экспоненциальными (привести доказательство)?

5. В чем заключается необходимость распределения норм надежности между элементами основной системы?

6. Какие существуют способы распределения норм надежности между элементами основной системы, и чем они отличаются?

7. Структура проектируемой системы представляется основной системой, состоящей из 10 элементов «A», 15 элементов «B», 32 элементов «D» и 8 элементов «F». Интенсивности отказов элементов известны и равны: _A = 2 · 10 ^-6 час ^-1 , _B = 4 · 10 ^-6 час ^-1, _D = 2.5 · 10 ^-6 час ^-1, _F = 5 · 10 ^-6 час ^-1. Определить среднюю наработку до отказа T_0с и ВБР системы за наработки t₁ = 100 час, t₂ = 1000 час и в интервале указанных наработок? Определить плотность распределения отказов системы при наработке t₂ = 1000 час?

Ответ: T_0с = 5 · 10 ³ час, P(t₁ ) = 0.98, P(t₂ ) = 0.819, P_с(t₁ , t₂ ) = 0.836, f(t₂ ) = 1.64 · 10 ^{- 4} час ^-1.

Глава 10.НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМ С НАГРУЖЕННЫМ РЕЗЕРВИРОВАНИЕМ

Рассматривается система, состоящая из одного основного и (n - 1) резервных элементов.

При условии, что отказы элементов независимы, отказ системы происходит только при отказе всех n элементов.

Структура системы

Случайная наработка до отказа:

(система работоспособна до тех пор, пока работоспособен хотя бы один элемент).

Поскольку отказ системы есть событие, которое заключается в одновременном появлении событий – отказах всех элементов, то

· вероятность отказа (ВО):

· вероятность безотказной работы (ВБР):

· математическое ожидание (МО) наработки до отказа:

При идентичных элементах системы, т. е. P₁(t) = … = P_n(t)

· ВБР:

· ВО:

· МО наработки до отказа:

Для системы с экспоненциальной наработкой до отказа каждого из n элементов:

P_i(t) = exp(- _i t),

где _i = const показатели безотказности:

Таким образом, при нагруженном резервировании экспоненциальное распределение наработки до отказа не сохраняется.

При идентичных n элементах системы МО наработки до отказа:

При большом n (n ), T_0с 1/ ·( ln n + c), где c = 0.577….

При неидентичных элементах:

Для системы с n идентичными элементами P₁(t) = … = Pn(t) решаются задачи оптимизации (в различных постановках).

1. Определение числа n элементов системы, при котором вероятность отказа (ВО) системы Qс(t) не будет превосходить заданной Qс.

Поскольку Qс(t) = Q_iⁿ(t), то условие задачи

Q_iⁿ(t) Qс(t).

Из приведенного неравенства определяется минимально необходимое число элементов:

2. Определение надежности n элементов системы из условия, чтобы ВО не превышала заданную Qс.

Из условия Q_iⁿ(t) Qс(t), находим ВО I и ВБР P_i(t) 1 - Q_i(t).

Надежность систем с ограничением по нагрузке

Для некоторых систем условия работы таковы, что для работоспособности системы необходимо, чтобы по меньшей мере r элементов из n были работоспособны.

Т. е. число необходимых рабочих элементов – r, резервных – (n - r).

Отказ системы наступает при условии отказа (n – r + 1) элементов.

Если при изменении числа находящихся в работе элементов не наблюдается перегрузки, влияющей на возможность возникновения отказа, то отказы можно считать независимыми.

ВБР такой системы определяется с помощью биномиального распределения.

Для системы, сохраняющей работоспособность при функционировании r из n элементов, ВБР определяется как сумма r, (r + 1), … , (n – r) элементов:

где

Для идентичных элементов с экспоненциальной наработкой P_i(t) = exp(- _i t), _i = const (₁ = … = _i = … = _n) ВБР:

Зависимость надежности системы от кратности резервирования

При целой кратности k (r = 1, n = k + 1) для системы с идентичными элементами и экспоненциальной наработкой до отказа:

· ВБР системы:

P_с(t) = 1 – (1 - exp(- t))^k+1;

· ПРО системы:

f_с(t) = - dP_с(t)/ dt = (k + 1) (1 - exp(- t))^k exp(- t);

· ИО системы:

Полагая элементы системы высоконадежными, т. е. t << 1 (P(t) 1 - t), получены упрощенные выражения:

· ВБР системы:

P_с(t) 1 – ( t))^k+1;

· ПРО системы:

f_с(t) (k + 1) ^k+1 t^k;

· ИО системы:

но поскольку t << 1, то (t)^k+1 0, поэтому ИО системы:

_с (t) (k + 1) ^k+1 t^k = n · ⁿ · t^n-1,

где n = k + 1.

Полученное выражение _с (t) свидетельствует о том, что при = const элементов, ИО системы зависит от наработки, т. е. распределение наработки до отказа системы не подчиняется экспоненциальному распределению.

На рис. 1 приведены зависимости изменения P_с( t) и _с / ( t) из которых следует, что:

· увеличение кратности резервирования k повышает надежность (P_с возрастает, _с / 0);

· резервирование наиболее эффективно на начальном участке работы системы (при t T₀), т. е.

Рис. 10.1

Из графика _с / ( t) видно, что при t = (3 4)T₀ = (34) 1/ , _с приближается к .

Поскольку средняя наработка до отказа системы при идентичных элементах ( = const):

то выигрыш в средней наработке T_0с снижается по мере увеличения кратности резервирования.

Например,

при k = 1

T_0с = T₀ ·(1 + 1/2) = 3/2T₀

(увеличение T_0с на 50%);

при k = 2

T_0с= T₀ ·(1 + 1/2 + 1/3) = 11/6T₀

(увеличение T_0с на 83%);

при k = 3

T_0с= 25/12T₀

(увеличение T_0сна 108%).

Таким образом, динамика роста T_0с составляет: 50, 33 и 25%, т. е. уменьшается.

Контрольные вопросы:

1. Чем отличаются системы с нагруженным резервированием с целой и дробной кратностью? Привести расчетные выражения показателей безотказности?

2. Какой закон распределения наработки до отказа будет у системы с нагруженным резервированием, если законы распределения наработки до отказа составляющих ее элементов – экспоненциальные?

3. Какие задачи оптимизации решаются и в чем они состоят для систем с нагруженным резервом?

4. Как определяется вероятность безотказной работы системы с нагруженным резервированием и дробной кратностью?

5. При каких условиях наиболее эффективно применение нагруженного резервирования?

Глава 11.НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМЫ С НЕНАГРУЖЕННЫМ РЕЗЕРВИРОВАНИЕМ

Общий анализ надежности приведен для системы, состоящей из одного основного (рабочего) и (n - 1) резервных элементов.

Допущения:

1. Время замены отказавшего элемента резервным равно 0 (t₃ 0).

2. Переключающее устройство подключения резервного элемента вместо отказавшего основного – абсолютно надежно.

При ненагруженном резервировании резервный элемент не может отказать, находясь в отключенном состоянии, и его показатели надежности не изменяются.

Исходные данные для расчета надежности:

· вероятность безотказной работы (ВБР) i-го элемента P_i(t).

· интенсивность отказов (ИО) i-го элемента _i(t).

· математическое ожидание (МО) наработки до отказа i-го элемента T_0i.

Анализ случайной наработки до отказа системы с ненагруженным резервом (рис. 1):

Рис. 11.1

МО наработки до отказа системы:

где T_0i = M(T_i ) – МО наработки до отказа i-го элемента системы.

Рассмотрим систему, состоящую из основного элемента (ОЭ) и одного резервного (РЭ). ОЭ и РЭ являются невосстанавливаемыми объектами.

Рис.11.2

События, соответствующие работоспособности системы за наработку (0, t):

A = {безотказная работа (БР) системы за наработку (0, t)};

A₁ = {БР ОЭ за наработку (0, t)};

A₂ = {отказ ОЭ в момент t >, включение (t3 = 0) РЭ и БР РЭ на интервале (t – )}.

Событие A = A₁ A₂, поэтому ВБР системы к наработке t (за наработку (0, t)), определяется:

P(A) = P(A₁ ) + P(A₂ ) ,

где P(A) = P_с(t);

P(A₁ ) – ВБР ОЭ к наработке t, P(A₁ ) = P₁ (t);

P(A₂ ) = P_р (t) – вероятность отказа ОЭ и БР РЭ после отказа ОЭ.

При известном законе распределения наработка до отказа ОЭ вычисление P₁ (t) не представляет сложности.

Событие A₂ является «сложным» событием, включающим в себя простые:

A₂₁ = {отказ ОЭ при < t (вблизи рассматриваемого момента )};

A₂₂ = {БР РЭ с момента до t, т. е. в интервале (t - )}.

Событие A₂ осуществляется при одновременном выполнении событий A₂₁ и A₂₂:

A₂ = A₂₁ A₂₂ .

События A₂₁ и A₂₂ являются зависимыми, поэтому вероятность события A₂

P(A₂ ) = P(A₂₁ ) · P(A₂₂| A₂₁ ) .

Соответствующие вероятности:

1) P(A₂₂| A₂₁ ) = P₂ (t - ) – ВБР РЭ в интервале (t - ),

где P₂ (t) – ВБР РЭ к наработке t.

2) для определения P(A₂₁ ) рассмотрен малый интервал ( , + d), для которого вероятность отказа ОЭ равна:

f₁() d

Для получения ВО ОЭ к моменту интегрируем полученное выражение по от 0 до t.

Поскольку ВО, как функция распределения случайной наработки до отказа,

равна то

где

Вероятность события A₂:

Тогда ВБР рассмотренной системы с ненагруженным резервом равна:

(1)

Аналогично, для системы с одним ОЭ и (n -1) РЭ, получается рекуррентное выражение:

(2)

где индекс (n - 1) означает, что соответствующие характеристики (ВБР и ПРО) относятся к системе, в которой включается в работу последний n-й элемент.

Выражение (2) приведено для состояния, когда к моменту отказал предпоследний (n -1) элемент системы и остался лишь один (последний) работоспособный элемент.

Принимая для рассмотриваемой системы, что наработки до отказа ОЭ и РЭ подчиняются экспоненциальному распределению с параметрами ₁ и ₂:

P1 (t) = exp ( -1 t);

P2 (t) = exp ( -2 t),

выражение (1) после интегрирования имеет вид:

(3)

Плотность распределения наработки до отказа системы, равна:

(4)

При кратностях резервирования k > 5 распределение наработки до отказа системы с ненагруженным резервом становится близким к нормальному независимо от законов распределения наработки, составляющих систему элементов.

При идентичных ОЭ и (n -1) РЭ и экспоненциальном распределении наработки элементов для ВБР системы с ненагруженным резервом и целой кратностью резервирования k = (n - m)/m, где m = 1:

(5)

где n – число элементов системы;

k = (n - 1)/1 = (n - 1) – кратность резервирования, при m = 1 .

ВО системы:

(6)

ПРО системы:

ИО системы:

Таким образом, распределение наработки до отказа таких систем подчиняется распределению Эрланга (гамма-распределение при целых n).

Согласно, выражению (5) проанализируем, как изменяется ВБР системы при различной кратности резервирования:

Сравнение ненагруженного и нагруженного резервирований проведено по графику P_с(t) для системы с идентичными элементами () и кратностью резервирования k = 2.

Наибольшая эффективность от использования системы с ненагруженным резервом будет при продолжительности работы РЭ не менее 1.5 T₀.

При ненагруженном резерве с дробной кратностью (при m > 1) и экспоненциальном распределении наработки до отказа идентичных элементов (ИО ) расчетное выражение для P_с(t):

где k* = n – m.

Ниже рассмотрены показатели безотказности системы с ненагруженным резервированием, когда случайная наработка до отказа элементов системы подчиняется нормальному распределению с ПРО

где - число элементов системы.

Поскольку случайная наработка до отказа системы

а T_i являются независимыми случайными величинами наработки, то сумма (композиция) независимых случайных величин, каждая из которых распределена нормально, также имеет нормальное распределение с параметрами:

- математическое ожидание наработки до отказа

- дисперсия наработки до отказа

Среднее квадратичное отклонение наработки до отказа системы, определяется:

Плотность распределения случайной наработки до отказа системы при целой кратности резервирования

Показатели безотказности определяются с использованием функций f(x) и (x) для

и имеют вид:

P_с(t) = 0,5 - (x) ; Q_с(t) = 0,5 + (x) .

Для системы с элементами наработка на отказ которых подчиняется экспоненциальному распределению P_i (t) = exp(-_i t), можно принять P_i(t) 1 -_i t, поэтому выражения ВО и ВБР:

При ненагруженном резерве ВО системы в n! раз меньше, чем при нагруженном.

Контрольные вопросы:

1. Что представляет собой ненагруженное резервирование и как случайная наработка до отказа системы связана со случайными наработками составляющих систему элементов?

2. Основные допущения, принятые при расчете системы с ненагруженным резервированием?

3. К какому закону распределения стремится наработка до отказа системы при больших значениях кратности резервирования?

4. Проанализируйте, как изменяется вероятность безотказной работы системы с увеличением кратности резервирования?

5. При каких условиях ненагруженное резервирование становится значительно эффективнее нагруженного?

6. Какой закон распределения наработки до отказа будет у системы с ненагруженным резервированием, если законы распределения наработки до отказа элементов являются нормальными?

7. Приведите расчетные формулы показателей безотказности для системы с нормальным распределением наработки элементов?

Глава 12. НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМ С ОБЛЕГЧЕННЫМ И СО СКОЛЬЗЯЩИМ РЕЗЕРВОМ