ІІІ. Метод Лагранжа

Лагранж запропонував загальний метод розв’язування неоднорідних лінійних ДР. Спочатку розв’язується однорідне ДР. У загальний розв’язок входять довільні сталі. Потім шукається загальний розв’язок неоднорідного ДР і при цьому довільні сталі стають новими шуканими функціями.

Шукатимемо розв’язок неоднорідного ДР.

Спочатку розв’яжемо однорідне ДР . Загальний розв’язок має вигляд . Шукаємо розв’язок неоднорід­ного ДР у вигляді Підставляючи в ДР (8.28), дістаємо рівняння

.

Приходимо до простого ДР

і загального розв’язку неоднорідного ДР:

Метод Лагранжа часто називають методом варіації довільної сталої.

Приклад. Знайдемо за методом Лагранжа розв’язок неоднорідного лінійного ДР

l Спочатку знайдемо загальний розв’язок однорідного ДР:

Шукаємо розв’язок неоднорідного ДР у вигляді .

Підставивши в неоднорідне ДР, дістанемо

або

Використаємо формулу інтегрування частинами:

Отже, остаточно дістанемо загальний розв’язок ДР:

До лінійного ДР зводиться ДР Бернуллі

Вводиться нова змінна , і ДР для z набирає вигляду ДР

Завдання.Розв’язати рівняння:

1.

2.

3.