Зависимости между моментами инерции при повороте осей

Параллельном переносе осей

Зависимости между моментами инерции при

Д а н о: моменты инерции фигуры относительно осей z, y, расстояние между этими и параллельными осями , – a, b.

О п р е д е л и т ь: моменты инерции относительно осей , (рис. 3.4).

Рис. 3.4.

Если исходные данные оси – центральные, то формулы для определения моментов инерции относительно осей имеют вид:

; ; . (3.9)

Д а н о: моменты инерции произвольной фигуры относительно координатных осей z, y; угол поворота этих осей (рис. 3.5). Считаем угол положительным при повороте от оси против часовой стрелки.

О п р е д е л и т ь: моменты инерции фигуры относительно осей z₁ и y₁, повернутых относительно исходных осей на угол .

Рис. 3.5.

Формулы для определения моментов инерции и имеют вид:

; (3.10)

; (3.11)

. (3.12)

Складывая формулы (3.10) и (3.11), получим

.

При повороте осей сумма осевых моментов инерции остаётся постоянной. При этом каждый из них меняется в соответствии с формулами (3.10) и (3.11). Ясно, что при каком–то положении осей моменты инерции будут иметь экстремальные значения: один из них будет наибольшим, другой – наименьшим.

Установлено, что экстремальные значения моментов инерции плоского сечения достигаются относительно главных центральных осей. При этом известно, что центробежный момент инерции относительно этих осей равен нулю. Далее моменты инерции относительно главных осей будем называть главными моментами инерции.