Оптические квантовые генераторы

Пример

Рассмотрим заряженную частицу в бесконечно глубокой, одномерной потенциальной яме (см. рис. 3.19).

Поскольку случай одномерный и стационарный, то уравнение Шредингера будет иметь вид:

Вне потенциальной ямы -функция будет равна нулю.

Внутри потенциальной ямы , и поэтому для этой области пространства уравнение Шредингера будет иметь вид:

Граничные условия для функции записываются как:

Преобразуем уравнение для :

Введем обозначение:

Окончательное дифференциальное уравнение для нахождения -функции будет иметь вид:

Как видим, получили дифференциальное уравнение незатухающих колебаний (I.2.4), только не во времени, а в пространстве. Решение этого уравнения имеет вид (I.2.6):

Константы интегрирования и находятся из граничных условий.

1. Удовлетворим граничному условию в нуле ‑ . Получим ‑ . Отсюда вытекает, что константа интегрирования . Таким образом, -функция будет иметь вид ‑ .

2. Удовлетворим теперь второму граничному условию ‑ . Получим ‑ . Отсюда вытекает, что должно выполняться условие ‑ , где Таким образом, для циклической частоты колебаний в пространстве получаем следующее выражение:

Следовательно, -функции будет иметь вид:

Выражение для амплитуды -функции найдем из условия нормировки ‑ . Для нашей задачи условие нормировки будет иметь вид:

Возьмем интеграл этого уравнения:

Следовательно, условие нормировки примет вид:

Окончательно -функцию представим в виде:

Получим теперь выражение для энергии частицы в потенциальной яме.

Из выражения для квадрата частоты следует, что . Из граничных условий вытекает, что . Объединяя эти два условия, получим:

Мы видим, что энергия частицы квантуется, принимает дискретный ряд значений.

Лекция 14. (2 часа)

(Спонтанное и индуцированное излучения. Инверсная заселенность энергетических уровней. Квантовые генераторы, их основные элементы и типы. Особенности лазерного излучения. Применение лазеров.)