Определение двойного интеграла

Двойные интегралы являются обобщением понятием определенного интеграла на случай функции двух переменных.

Рис. 75

Пусть некоторая функция двух переменных непрерывная и ограниченная в некоторой области D плоскости Оxy. Пусть область D ограничена конечным числом непрерывных линий, уравнения которых имеют вид или . С помощью таких же произвольно выбранных непрерывных линий разобьем область D на n элементарных областей , , площади которых равны , (рис. 75).

Назовем диаметром элементарной области наибольшее расстояние между точками этой области. В каждой элементарной области выберем произвольно точку и вычислим значение функции .

Составим сумму , которая называется интегральной.

Двойным интегралом от функции по области D называется предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа n элементарных областей и стремление к нулю наибольшего их диаметра , т. е.

.