Производная функций комплексного переменного.

Определение. Производной от однозначной функции w = f(z) в точке z называется предел:

Определение. Функция f(z), имеющая непрерывную производную в любой точке области D называется аналитической функцией на этой области.

Правила дифференцирования функций комплексного аргумента не отличаются от правил дифференцирования функций действительной переменной.

Аналогично определяются производные основных функций таких как синус, косинус, тангенс и котангенс, степенная функция и т.д.

Производные гиперболических функций определяются по формулам:

Вывод правил интегрирования, значений производных основных функций ничем не отличается от аналогичных операций с функциями действительного аргумента, поэтому подробно рассматривать их не будем.

Условия Коши – Римана.

(Бернхард Риман (1826 – 1866) – немецкий математик)

Рассмотрим функцию комплексной переменной , определенную на некоторой области и имеющую в какой – либо точке этой области производную

Стремление к нулю Dz®0 может осуществляться в следующих случаях:

1)

2)

В первом случае:

Во втором случае:

Тогда должны выполняться равенства:

Эти равенства называются условиями Коши – Римана, хотя еще раньше они были получены Эйлером и Даламбером.

Теорема. Если функция имеет производную в точке

z = x + iy, то ее действительные компоненты u и v имеют в точке (х, у) частные производные первого порядка, удовлетворяющие условию Коши – Римана.

Также справедлива и обратная теорема.

На основании этих теорем можно сделать вывод, что из существования производной следует непрерывность функции.

Теорема. Для того, чтобы функция была аналитической на некоторой области необходимо и достаточно, чтобы частные производные первого прядка функций u и v были непрерывны на этой области и выполнялись условия Коши – Римана.