Формула конечных приращений
Если т. a=x, b=x+Δx 
отрезок [x; x+Δx], то по теореме Лагранжа
,
где 
.
Или, учитывая, что 
, 
, получим
– формула конечных приращений.
| Note |  Формула конечных приращений часто применяется в математике при различных доказательствах. Однако следует помнить, что где именно расположена точка с, теорема Лагранжа (к сожалению!) не дает ответа. Единственно, что следует из теоремы, это т. .
|
7.4. Теорема Коши[16]
| Т. | (Теорема Коши) Пусть две функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы на интервале (a;b) и производная  на (a;b). Тогда,   .
|
Proof:
Чтобы воспользоваться теоремой Роля (см. п. 7.2) введем вспомогательную функцию
.
Очевидно, что 
, 
. Тогда по теореме Роля 
.
Производная
.
В т. 
, т.е.
.
Откуда 
, ч.т.д.
7.5. Правило Лопиталя[17]. Раскрытие неопределенностей
| Т. | (Теорема Лопиталя) Пусть две функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [x0; x] и дифференцируемы на интервале (x0; x), причем . Пусть  и  . Тогда, если существует  то  , причем
 .
|
Proof:
По теореме Коши 
, где 
.
По условию теоремы 
и 
, т.е. 
.
Тогда при 
(по теореме о сжатой переменной) 
.
 |
Или 
.
Пусть 
, тогда при 
, т.о. символ «с» можно заменить на символ «x», т.е. если
.
| Note 1 | Если рассмотреть отрезок [x; x0] и провести аналогичное доказательство, то все рассуждения справедливы при  .
Поэтому в дальнейшем будем писать  .
|
| Note 2 | Пусть в т.  и  , тогда справедливы все выводы теоремы Лопиталя.
|
| Note 3 | Т.о., если  или  , то справедливо «Правило Лопиталя».
|
– Правило Лопиталя,
причем, следует иметь ввиду, что его необходимо читать «справа-налево», т.е. если существует предел отношения производных, то существует предел отношения функций и эти пределы совпадают.
Ex.1. 
Ex.2. 
Ex.3. 
Пусть 
, тогда 
Т.о., 
, откуда
.
7.6. Многочлен Тейлора[18] и Маклорена[19]. Остаточный член в форме Пеано и Лагранжа
| Т. | Пусть функция y=f(x) определена и (n+1) раз дифференцируема в некоторой окрестности т.  . Тогда справедлива формула Тейлора:  . Или более кратко
 – формула Тейлора.
|
Proof:
Пусть 
.
Пусть 
– многочлен n-й степени, 
– неизвестные константы.
Тогда 
.
Пусть выполняется (n+1)-е условие:
,
,
,
………………..
.
Напомним, что
.
1. Пусть х=х0, тогда
или
.
Вычислим производную от многочлена Pn(x).
.
2. Пусть х=х0, тогда
или
.
Вычислим производную 2-го порядка от Pn(x).
.
3. Пусть х=х0, тогда
.
Продолжая этот процесс, вычисляя производные 3-го, 4-го, 5-го, …, n-го порядка, и, подставляя вместо 
, получим
, 
, …, 
.
Подставляя эти значения констант в формулу для многочлена Pn(x), получим
.
Докажем, что 
или
,
т.е.
.
| Note 1 | Дома или на практическом занятии (применяя n раз правило Лопиталя) доказать, что
|
| Note 2 | Т.о. мы получили формулу Тейлора
с остаточным членом  в форме Пеано[20].
|
| Note 3 | Дома или на практическом занятии (применяя n+1 раз теорему Коши) доказать, что
где 
|
Т.о., 
– формула Тейлора
с остаточным членом 
– в форме Лагранжа.
| Note 4 | Если в формуле Тейлора положить x0 = 0 !!!, то получим формулу Маклорена
Или более кратко
 – формула Маклорена.
|
| Note 5 | Дома или на практическом занятии получить формулы Маклорена для элементарных функций
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
|
ГЛАВА 8. Исследование функций с помощью производных