Формула Ньютона-Лейбница

Непосредственное вычисление определённого интеграла по формуле (25.1) связано с трудностями, интегральные суммы имеют громоздкий вид и их нелегко преобразовать. Ньютон и Лейбниц доказали теорему, связывающую два важных понятия математического анализа –интеграла и производной.

♦ Теорема 25.1 (формула Ньютона-Лейбница).

(25.2)

Здесь – произвольная непрерывная на функция, – какая-либо её первообразная на .

Доказательство. Пусть R – произвольное разбиение отрезка на части. Тогда

.

Отсюда следует формула (25.2). ■

25.3. Свойства определённого интеграла

♦ Теорема 25.2. 1) Если M – постоянная, то .

Доказательство. . ■

♦2) Аддитивное свойство определённого интеграла. Если функция интегрируема на каждом из отрезков , , то она интегрируема на и

. (25.3)

Доказательство. Зададим произвольное разбиение отрезка :

. Пусть ,

,

.

, то есть . Пусть , тогда , и подавно. Следовательно,

.

Это равенство верно для любых разбиений R. Следовательно, интеграл существует и имеет место формула (25.3). ■

♦3) По определению ; .

Доказательство. . ■

♦ Теорема 25.3. Если функции и интегрируемы на отрезке и A, B – произвольные числа, то

. (25.4)

В частности, при , то есть постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла.

Доказательство. Для разбиения R имеем:

.

Переходим к пределу при и получаем (25.4). ■

♦ Теорема 25.4. Если функции и интегрируемы на отрезке и , то

. (25.5)

Доказательство. Для любого разбиения R: , так как . После перехода к пределу при получим (25.5). ■

♦ Теорема 25.5. Если функции и интегрируемы на отрезке , то при

. (25.6)

Если a не обязательно меньше b, то

. (25.7)

Доказательство. для . По теореме 25.4

, .

,

откуда получаем , то есть формулу (25.6).

Если , то правые части формул (25.6) и (25.7) равны. Если , то

,

то есть получаем формулу (25.7). Случай сводится к соотношению . ■