Ковариация (корреляционный момент) и коэффициент корреляции
Для двумерной случайной величины 
характеристики ее составляющих 
и 
, 
, 
, 
никак не отражают зависимости между и или ее отсутствия. Поэтому вводится еще одна числовая характеристика − корреляционный момент или ковариация.
Определение. Ковариацией или корреляционным моментом 
случайных величин и называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их математических ожиданий:
.
Используя формулы для математических ожиданий, получаем
для дискретных величин 
,
для непрерывных величин 
.
Ковариация характеризует зависимость величин.
Свойства корреляционного момента
1. Для независимых случайных величин и 
.
2. Если 
, то случайные величины и зависимы.
3. 
. (Для доказательства достаточно раскрыть скобки под знаком математического ожидания в определении.) В частности
для дискретных величин 
,
для непрерывных величин 
.
4. 
. (Свойство сразу вытекает из 3.)
5. 
. (Выразите дисперсию через математические ожидания.)
6. 
.
7. 
. (Доказательство этого свойства можно найти в [1, гл.14, § 17].)
Ковариация имеет размерность произведения размерностей случайных величин и и зависит от того, в каких единицах измерялись величины. Для получения безразмерной характеристики вводится понятие коэффициента корреляции.
Определение. Коэффициентом корреляции 
случайных величин и называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих случайных величин:
.
Свойства коэффициента корреляции
1. Для независимых случайных величин и 
.
2. 
. Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит единицы.
3. Если 
, то случайные величины и связаны линейной зависимостью, т.е. 
.
Определение. Случайные величины и называются некоррелированными, если , и коррелированными, если 
.
Следует помнить, что понятия некоррелированности и независимости не совпадают, несмотря на внешнее сходство. Независимые величины − некоррелированные, но обратное неверно. Коррелированные величины − зависимые, но обратное неверно. Любые коррелированные величины всегда зависимые, любые независимые величины всегда некоррелированные. Это можно отразить на двудольном графе.
Пример. У случайных величин и 
, 
, 
, 
, 
. Найдите 
и 
.
Решение. 
.
.
Ответ. 
, 
.
В заключение рассмотрим пример на вычисление всех характеристик системы случайных величин. Этот же пример рассмотрен в заданиях 6. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
Пример. Задан закон распределения системы случайных величин :
Найдите значение параметра 
. Найдите законы распределения составляющих и . Найдите условные законы распределения составляющих. Найдите , , , , 
, , .
Решение. а) Согласно свойству 
совместной плотности вероятности 
системы случайных величин (свойство 4 из §10) для заданной плотности также
, т.е. 
. Вычислим интеграл:
. Следовательно, 
.
Итак, плотность вероятности имеет вид
б) Законы распределения составляющих и найдем по формулам:
− плотность вероятности составляющей и
− плотность вероятности составляющей .
Если 
, то 
, а при 
, поэтому
Аналогично, если 
, то 
, а при 
, поэтому
в) Условные законы распределения составляющих и найдем по формулам:
и 
.
при 
, т.е.
при , т.е.
г) Математическое ожидание найдем по формуле
, а т.к. отлична от 0 только в области 
, то
.
Аналогично, 
.
Для вычисления дисперсии найдем 
. А т.к. отлична от 0 только в области , то
.
.
Аналогичные вычисления для дают 
.
Средние квадратические отклонения 
и 
.
д) Математическое ожидание найдем по формуле
. А т.к. отлична от 0 только в области , то
.
е) Корреляционный момент найдем по формуле .
.
Коэффициент корреляции вычисляется по формуле .
.
Так как коэффициент корреляции отличен от 0, случайные величины и коррелированные, а значит, зависимые.
Ответ. ,
,
, 
, , ,
, 
, 
.
Замечание. Симметричные значения для составляющих в данном примере получились благодаря симметричности плотности совместного распределения и области . В общем случае таких совпадений не будет.