Топологические матрицы графов
Геометрия любого графа может быть описана несколькими матрицами. При расчетах наиболее часто используют следующие названия матриц: матрицу соединений (узловая матрица), контурную матрицу, матрицу главных сечений, матрицы параметров ветвей.
| | Узловая матрица (А). Рассмотрим направленный граф электрической цепи. Составим и заполним таблицу согласно правилам: - если ветвь графа направлена от узла, то в клетку пересечения их нумераций вписывается +1; - если ветвь графа направлена к узлу, то в клетку пересечения их нумераций вписывается −1; - если ветвь графа не связана с узлом, то в клетку пересечения их нумераций вписывается 0. |
Таблица
| У з л ы | В е т в и | |||||
| +1 | +1 | −1 | ||||
| −1 | +1 | +1 | ||||
| −1 | −1 | +1 | ||||
| +1 | −1 | −1 |
Согласно заполненной таблице запишем полную узловую матрицу:
АП = ,
которая и определяет схему электрической цепи.
Из матрицы АП следует, что сумма чисел в любом столбце равна нулю, поэтому одна из ее строк является зависимой. В этом случае матрицу АП заменяют матрицей Апутем вычеркивания любой строки из матрицы АП. Узел, из которого исключается строка, принято называть базисным. У графа такой узел обозначается через ноль. Тогда размер матрицы Аравен . В нашем случае размер матрицы А будет: .
| Контурная матрица (В). Данный граф имеет три главных контура. Направления контуров соответствуют направлениям ветвей связи: - первый контур образован ветвями дерева 5,4 и ветвью связи 1; - второй контур образован ветвями дерева 3,5 и ветвью связи 2; - третий контур образован ветвями дерева 4,3и ветвью связи 6. |
| I |
| II |
| III |
Составим соответствующую таблицу:
| Контуры | В е т в и | |||||
| I | +1 | −1 | +1 | |||
| II | +1 | −1 | −1 | |||
| III | +1 | +1 | +1 |
Согласно заполненной таблице запишем матрицу главных контуров (контурная матрица):
В = .
Размер контурной матрицы В: .
| Матрица главных сечений (Q). Для графа и выбранного дерева с ветвями 1,5,2составим таблицу согласно правилам: - если в данном сечении ветвь связи имеет то же направление что и дерева, то в клетку пересечений вписывается +1; - если направление ветви связи в данном сечении не совпадает с направлением ветви дерева, то в клетку пересечений вписывается −1; - ветви не входящие в данное сечение, отмечаются 0. |
| I |
| II |
| V |
Таблица
| Главное сечение | В е т в и | |||||
| I | +1 | +1 | −1 | |||
| II | +1 | +1 | −1 | |||
| V | −1 | +1 | +1 |
Согласно заполненной таблице запишем матрицу главных сечений:
Q = .
Размер матрицы главных сечений Q: .
| Матрица сопротивлений ветвей (ZB). В этой матрице номера строк и столбцов соответствуют номерам ветвей. Поэтому матрица сопротивлений, при отсутствии взаимных связей ветвей, всегда квадратная и по ее диагонали записывают собственные сопротивления ветвей. Такая матрица называется диагональной. Пусть задан граф, для которого требуется составить матрицу контурных сопротивлений. |
| I |
| II |
| III |
Для заданного графа организуем контурную матрицу:
В = .
Матрица сопротивлений ветвей будет диагональной размером :
ZB = .
Далее находим произведение матрицы ZB и транспонированной (когда строки и столбцы меняются местами) контурной матрицы ВТ:
ZBBT = ∙ = .
Матрицу контурных сопротивлений определит тройное матричное произведение:
ZK = B ZBBT = ∙ =
= .
Матрица проводимостей ветвей (YB) - эта матрица будет так же диагональной, но обратной относительно матрицы сопротивлений:
YB = .
Матрицу узловых проводимостей определит тройное матричное произведение:
Yq = AGBAT
Матрицы источников ЭДС (Е) и токов (J) -это столбцовые матрицы, число строк в которых равно числу ветвей графа:
; .