Ознака наявності незліченної множини оптимальних планів
Коментарі до теореми про збіжність симплексного процесу
1. Ознака необмеженості цільової функції.
Нехай при розгляді функції F на экстремум типу максимум на деякому кроці симплексна таблиця придбала вид:
| -х4 | -х5 | ||
| х1 | –1 |  2
| |
| х2 | –1 | ||
| х3 | –3 | ||
| F | –1 |
З аналізу таблиці видно, що є можливість виконати крок симплекс-процесу (збільшити значення цільової функції за рахунок збільшення значення вільної змінної х4) . Однак у відповідному стовпці немає невід’ємних елементів, тобто ріст змінної х4 не стримується базисними змінними. Тому х4 можна збільшувати необмежено, т.ч. 
.
Нехай при дослідженні функції F на экстремум типу максимум на деякому кроці симплексна таблиця придбала вид:
| -х4 | -х5 | ||
| х1 | |||
| х2 | –1 | ||
| х3 | |||
| F |
З аналізу таблиці виходить 
Приклад. Наступну задачу лінійного програмування розв’язати прямим симплексним методом. Розв’язок проілюструвати графічно.
Система обмежень даної задачі сумісна, Ω - область припустимих планів представлена на мал. 11.
 |
Мал. 11
Перетворимо обмеження-нерівності вихідної ЗЛП в обмеження-рівності шляхом введення балансових змінних х3, х4 ≥ 0:
Виділимо базис невідомих (х3, х4 – базисні, х1, х2 – вільні) і виразимо базисні невідомі через вільні:
Складемо первісну симплексну таблицю:
| -х1 | -х2 | |
| х3 | |||
| х4 | |||
| F | –2 | –3 |
У даній таблиці записаний первісний опорний план:
Геометрично цей план відповідає вершині 
багатокутника Ω..
Аналіз первісного плану показує, що є можливість збільшити значення цільової функції (поліпшити план) за рахунок збільшення значень вільних невідомих (два від’ємних елементи в рядку лінійної форми).
Будемо збільшувати вільну змінну х1 (тим самим визначаємо розв'язувальний стовпець). Тому що в розв'язувальному стовпці є невід’ємні елементи, то ріст змінної х1 буде стримуватися базисними змінними, у вираз для яких х1 входить зі знаком «мінус» 
.
По мінімальному симплексному відношенню (відношенню вільного члена до невід’ємного елемента розв'язувального стовпця) визначимо, яка з базисних змінних першою обернеться в нуль:
Виходить, першою обернеться в нуль і перейде в розряд вільних змінних базисна змінна х3 (цим визначається розв'язувальний рядок на даному кроці жорданових виключень).
Нова симплексна таблиця має вигляд:
| -х3 | -х2 | ||
| х1 | |||
| х4 | –1 | ||
| F | –1 |
В останній таблиці записаний поліпшений план:
Геометрично цей план відповідає вершині 
багатокутника Ω.
Наявність у рядку лінійної форми невід’ємного елемента свідчить про те, що значення цільової функції F1 не є оптимальним і його можна далі збільшити за рахунок збільшення вільної змінної х2. Розв'язувальний рядок визначаємо по мінімальному симплексному відношенню:
Після одного кроку жорданових виключень одержимо нову симплексну таблицю
| -х3 | -х4 | ||
| х1 | –1 | ||
| х2 | –1 | ||
| F |
і новий опорний план: 
Цей план геометрично відповідає вершині 
багатокутника Ω.
Останній опорний план є оптимальним, тому що в рядку лінійної форми немає від’ємних елементів і подальше збільшення значення цільової функції неможливо:
