Способ вычисления поверхностного интеграла первого рода.

Пусть требуется вычислить , когда функция непрерывна на поверхности S. Поверхность S задана параметрически: , где функции имеют непрерывные в прямоугольнике частные производные первого порядка. Разобьем прямоугольник значений параметров на прямоугольники , . Соответственно такому разбиению прямоугольника параметров мы получим разбиение поверхности S на фрагменты . Как известно, площадь такого фрагмента может быть получена по формуле

,

и согласно интегральной теореме о среднем,

где , , . Выберем теперь на поверхностном фрагменте в качестве точки с координатами точку с координатами . Теперь так же, как в предыдущем параграфе, получим следующее выражение для поверхностного интеграла первого рода:

.

Правая часть последнего выражения представляет собой интегральную сумму при интегрировании по прямоугольнику , поэтому, переходя к пределу, получим

Заметим, что в плоскости изменения параметров может получиться не обязательно прямоугольник , а другая, более сложная, область. В любом случае приведенная формула позволяет от интеграла по площади поверхности перейти к двойному интегралу по области значений параметров.

П р и м е р ы.

1. Вычислить , где S – часть параболоида , отсекаемая плоскостью .

Р е ш е н и е. Прежде всего, заметим, что проекцией данной поверхности S на плоскость XOY является круг . Параметризуем уравнение поверхности с помощью полярных координат:

.

Вычислим входящие в формулу якобианы: .

Теперь получим представление исходного поверхностного интеграла через двойной интеграл по прямоугольнику значений параметров:

Таким образом, мы пришли к вычислению произведения двух интегралов по отрезкам.

2. Найти массу полусферы , плотность которой в каждой ее точке равна .