Способ вычисления поверхностного интеграла первого рода.
Пусть требуется вычислить , когда функция непрерывна на поверхности S. Поверхность S задана параметрически: , где функции имеют непрерывные в прямоугольнике частные производные первого порядка. Разобьем прямоугольник значений параметров на прямоугольники , . Соответственно такому разбиению прямоугольника параметров мы получим разбиение поверхности S на фрагменты . Как известно, площадь такого фрагмента может быть получена по формуле
,
и согласно интегральной теореме о среднем,
где , , . Выберем теперь на поверхностном фрагменте в качестве точки с координатами точку с координатами . Теперь так же, как в предыдущем параграфе, получим следующее выражение для поверхностного интеграла первого рода:
.
Правая часть последнего выражения представляет собой интегральную сумму при интегрировании по прямоугольнику , поэтому, переходя к пределу, получим
Заметим, что в плоскости изменения параметров может получиться не обязательно прямоугольник , а другая, более сложная, область. В любом случае приведенная формула позволяет от интеграла по площади поверхности перейти к двойному интегралу по области значений параметров.
П р и м е р ы.
1. Вычислить , где S – часть параболоида , отсекаемая плоскостью .
Р е ш е н и е. Прежде всего, заметим, что проекцией данной поверхности S на плоскость XOY является круг . Параметризуем уравнение поверхности с помощью полярных координат:
.
Вычислим входящие в формулу якобианы: .
Теперь получим представление исходного поверхностного интеграла через двойной интеграл по прямоугольнику значений параметров:
Таким образом, мы пришли к вычислению произведения двух интегралов по отрезкам.
2. Найти массу полусферы , плотность которой в каждой ее точке равна .