Теорема множення зображень (теорема про згортку)

Теорема: Якщо оригінал , а оригінал , то

(6.7.1)

Доведення

Позначивши , за визначенням зображення за Лапласом

(6.7.2)

Інтеграл, що стоїть праворуч, є подвійний інтеграл, який береться по області , обмеженій прямими і при цьому:

Зміна порядку інтегрування в інтегралі праворуч у рівності (6.7.2) дає:

.

Отже

Інтеграл називається згорткою функцій і і позначається .

Отже оригінал, що відповідає добутку двох зображень, дорівнює згортці оригіналів співмножників.

Приклад 1 . Застосовуючи теорему множення зображень, знайти оригінал, якщо,

Розв¢язання

Маємо

причому

Тому, враховуючи, що

знаходимо:

тобто

Відповідь:

.

Приклад 2. (самостійно). Застосовуючи теорему про згортку, знайти оригінал, якщо

Відповідь:

6.8 Диференціювання оригіналів (зображення похідних оригіналів)

Зображення похідної оригіналу , якщо – оригінал, можна знайти за відомим зображенням оригіналу на підставі наступної теореми:

Теорема: Якщо, і – оригінал, то

(6.8.1)

Доведення

На підставі означення зображення записується

Шляхом інтегрування за частинами маємо:

тобто тому що в напівплощині буде:

при .

В окремому випадку, коли , формула (6.8.1) має вигляд:

(6.8.2)

Таким чином, якщо початкове значення оригіналу дорівнює нулю, диференціювання оригіналу приводить до множення його зображення на параметр р. Застосувавши формулу (5.8.1) до другої похідної , одержуємо:

Аналогічно

(6.8.3)

……………………………………………………

В окремому випадку, коли буде

(6.8.4)

6.9 Інтегрування оригіналів(зображення інтегралів)

Теорема: Якщо , то .

Доведення

Позначення , а значить , приводить за теоремою єдності і теоремою диференціювання оригіналу до рівності: де а Таким чином, звідки маємо:

(6.9.1)

Приклад. Якщо , то за теоремою інтегрування оригіналу

.

Відповідь:

.

Зауваження. Формули диференціювання й інтегрування оригіналів, тобто формули (5.8.1) і (5.9.1), що визначають зображення похідної й інтеграла від оригіналу , відіграють найважливішу роль в операційному численні, бо з них випливає, що діям вищого аналізу – диференціюванню й інтегруванню функцій-оригіналів, відповідають алгебраїчні дії – множення і ділення відповідно їхніх зображень на параметр р. Отже, величину р можна формально розглядати як оператор диференціювання, а величину – як оператор інтегрування функції-оригіналу на відрізку .

Слід також зазначити, що зображення значної кількості функцій-оригіналів, що зустрічаються на практиці, є дробово-раціональними алгебраїчними функціями параметра р.

Зазначене тут дає можливість багато задач вищого аналізу (розв¢язання диференціальних, інтегральних і інтегро-диференційних рівнянь і т.п.) звести до виконання алгебраїчних дій над зображеннями шуканих функцій-оригіналів , які є розв¢язками таких задач.