Основні теореми операційного числення

Приклади безпосереднього визначення зображень

Приклад 1. Знайти зображення за Лапласом одиничної функції Хевісайда:

b

1

0 0 a

Рисунок 5.1 Рисунок 5.2

Розв¢язання

Користуючись означенням зображення (3.1), знаходиться при , тобто для правої напівплощини

(5.1)

Відповідь: ( ).

Приклад 2. Знайти зображення функції:

де а – комплексне число.

Розв¢язання

якщо або , тобто правіше від прямої :

0

Рисунок 5.3

Відповідь:

(5.2)

Зауваження: Надалі передбачається, що всі функції, які розглядають постачені множником , хоча сам цей множник опускається. Так, наприклад, під записами , і т.п. маються на увазі записи: ,

Приклад 3. Знайти

Розв¢язання

Отже, .

Відповідь:

(5.3)

Приклад 4. (самостійно). Знайти зображення за Лапласом функції .

Відповідь:

(5.4)

Відшукання зображень оригіналів безпосередньо за інтегралом Лапласа найчастіше громіздке. Викладені нижче теореми істотно полегшують відшукання зображень. Вони дозволяють також розв¢язувати зворотну задачу – відшукання оригіналу за відомим зображенням.