Розв’язання

Розв’язання

Розв’язання

Розв’язання

Нехай куля утворена обертанням навколо осі кола . Звідки .

Для обчислення використаємо формулу (3.11), враховуючи, що .

Отже,

куб. од.

2. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженої лініями , , , .

Скористаємось формулою (29.4):

= куб. од.

3. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженої лініями та .

Рівняння задає параболу з вершиною в точці , віссю симетрії якої є вісь .

Щоб знайти межі інтегрування, шукаємо ординати точок перетину ліній: , тоді , звідки , .

Зважаючи на симетрію тіла відносно осі , за формулою (3.13) маємо:

куб. од.

В завданнях 4 – 7 обчислити об’єми тіл, утворених обертанням навколо осі фігури, обмеженої заданими лініями.

4. , , .

Знайдемо межі інтегрування: , тоді , тоді , звідки . При маємо .

куб. од.

5. , , .