Дифференциальное уравнение движения 1 страница

Аналитическое и численное исследование задач связано с применением основных законов течения в дифференциальной форме. Для процессов, происходящих в нефте-газовых пластах, характерно изменение основных параметров течения во времени. Такие процессы называются неустановившимися (нестационарными). Для получения дифференциальных уравнений движения выделяется бесконечно-малый элемент и рассматриваются законы сохранения массы, количества движения и энергии за бесконечно малый промежуток времени. При этом используются экспериментальные соотношения, определяющие зависимость силы трения, пористости и т.д. от параметров течения. Число уравнений должно равняться числу неизвестных параметров, что даёт замкнутую систему.

Для подземной гидромеханики характерно изотермическое изменение параметров вследствие значительных величин удельной поверхности коллекторов и их теплоёмкости. Т.о. для таких процессов можно не рассматривать уравнение энергии и ограничиваться уравнениями балланса массы (неразрывности) и движения.

Уравнение энергии необходимо рассматривать в локальных областях призабойной зоны из-за значительных перепадов давления, проявления дроссельного эффекта, а также при применении тепловых методов повышения нефте-газоотдачи.

Для замыкания системы уравнений необходимо введение замыкающих соотношений, а именно уравнений состояния флюидов и пористой среды. Кроме того для получения однозначного решения необходимо задание граничных и начальных условий.

В большинстве случаев решение задач подземной гидродинамике требует использования численных методов и только в сильно идеализированных случаях одномерного течения удаётся получить аналитическое решение.

Рассмотрим фильтрацию флюидов в пористых средах, принимая во внимание линейный закон Дарси.

Выделим два сечения – первое на расстоянии S от начала отсчета вдоль линии тока, второе – на расстоянии DS от первого (рис. 1).

Движение флюида происходи в направлении возрастания координаты S. В сечении с координатой S обозначим приведенное давление через p*(S, t), в сечении координат S + DS – через p*(S + DS ,t), используя формулу ,

получаем

, (20) Рис. 1. Трубка тока

или перейдем к пределу при ,

, (21)

Знак (-) в правой части означает, что приведенное давление падает по движению жидкости, т.е. градиент приведенного давления отрицателен .

Формула (21) справедлива только для изотропной среды, для которой характерно постоянство проницаемости по всем направлениям в окрестности рассматриваемой точки. Однако с переходом от точки к точке пласта проницаемость может и изменяться, таким образом (модель изотропного неоднородного пласта).

Запишем уравнение (21) в проекциях на оси координат x, y, z. Если обозначить через , , единичные векторы вдоль осей координат, вектор скорости фильтрации можно записать в виде

, (22)

, (23)

тогда

, (24)

или в проекциях на оси координат

, , , (25)

если ось z направлена вверх и дифференциальные уравнения движения примут вид

, , , (26)

в векторной форме . (27)

В дифференциальной форме двучленный закон записывается в виде , (28)

где S – координата, взятая вдоль линии тока по движению жидкости.

В векторной форме двучленный закон выведен из теории размерностей, в виде

(29)

В прекциях на оси координат имеем

, (30)

,

.

При фильтрации неньютоновских вязкопластичных жидкостей, а также при фильтрации с очень малыми скоростями имеет место закон фильтрации (5), который отличается от закона Дарси наличием предельного градиента , по достижении которого начинается движение. В векторной форме закон фильтрации с предельным градиентом выведен из теории размерностей и имеет вид . (31)

; (32)

в проекции на оси координат:

; (33)

;

.

Лекция 3.

Вывод дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации однородного флюида по закону Дарси. Функция Л. С. Лейбензона.

Для вывода дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации используем уравнение неразрывности

или

(34)

Сумма в скобках в левой части уравнения (34) представляет собой дивергенцию вектора скорости фильтрации и кратко записывается таким образом:

, (35)

поэтому уравнение (34) можно записать в виде:

. (36)

Уравнение (34) (или 36) справедливо только в том случае, если внутри объема нет источников или стоков, выделяющих или поглощающих флюид, не происходит химических реакций, фазовых превращений и т.д.

И уравнения движения

(37)

В уравнении (11) не будем учитывать силу тяжести.

Введем функцию (функцию Лейбензона), тогда дифференциал этой функции равен:

, (38)

тогда

, (39)

т. к. функция Лейбензона и давление зависит от координат x, y, z и времени t, то (38) можно записать в развернутом виде, используя понятие полного дифференциала функции от многих переменных:

.

Сравнивая коэффициенты при x, y, z получаем:

, , , (40)

Запишем выражение для составляющих массовой скорости фильтрации, умножив правую и левую части уравнения (37) на плотность и используя соотношения (40):

, (41)

Подставим выражение (41) в уравнение неразрывности (34), получим:

(42)

или

, (43)

где - оператор Лапласа от функции Лейбензона (39).

Уравнение (42) справедливо для неустановившегося движения однородного флюида в однородной пористой среде по закону Дарси.

При установившейся фильтрации и будет удовлетворяться уравнение Лапласа для функции Лейбензона:

(44)

При k = const, m = const, и , тогда можно ввести функцию Лейбензона в виде:

. (45)

Тогда дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации примет вид:

. (46)

Выразим функцию Лейбензона (45) через давление для различных флюидов – несжимаемой жидкости, упругой жидкости, совершенного газа и реального газа. Для этого в (45) подставим соответствующие выражения для плотности и проинтегрируем.

Для несжимаемой жидкости rо = const, тогда

, (47)

т. е. функция Лейбензона пропорциональна давлению.

Для упругой жидкости:

, (48)

т. е. имеем тот же вид, что и для несжимаемой жидкости.

Для совершенного газа с уравнением состояния

, (49)

получаем

, (50)

т. е. функция Лейбензона пропорциональна квадрату давления.

Для реального газа с уравнением состояния

, (51)

тогда

, (52)

т. е. функция Лейбензона записывается в виде интеграла.

Т. к. реальные свойства газа проявляются при высоких пластовых давлениях, то в этом случае оказывается существенной зависимость вязкости от давления и нужно использовать функцию Лейбензона в виде (39).

Лекция 4.

1. Установившиеся потоки флюида в пористой среде.

Одномерным называется фильтрационный поток жидкости или газа, в котором скорость фильтрации, давление и другие характеристики течения являются функциями только одной координаты, отсчитываемой вдоль линии тока.

1.Прямолинейно-параллельный поток.Траектории всех частиц жидкости - параллельные прямые, а скорости фильтрации во всех точках любого поперечного (перпендикулярного к линиям тока) сечения потока равны между собой, поверхности равных потенциалов (эквипотенциальные поверхности) и поверхности равных скоростей (изотахи) являются плоскими поверхностями перпендикулярными траекториям. Законы движения вдоль всех траекторий такого фильтрационного потока идентичны, а потому достаточно изучить движение вдоль одной из траекторий, которую можно принять за ось координат - осьх.

Примеры.

а) Пласт (рис.3.1) имеет в плане полосообразную форму шириной B и длиной L, толщина пласта h постоянна, граничный контур непроницаем и непроницаемы кровля и подошва пласта. Батарея эксплуатационных скважин расположена параллельно начальному контуру нефтеносности. Приближение тем больше, чем меньше расстояние между скважинами и если заменить батарею сплошной прямолинейной выработкой - галереей, то движение жидкости к галерее будет строго прямолинейно-параллельным.

б) Поток между круговыми батареями нагнетательных и эксплуатационных скважин в случае больших радиусов батарей (угол схождения векторов скорости бесконечно мал). При этом толщина пласта постоянна, а его кровля и подошва непроницаемы.

в) в лабораторных условиях при течении через цилиндрический керн или прямую трубу постоянного сечения, заполненную пористой средой.

2. Плоскорадиальный поток.Траектории всех частиц жидкости - прямолинейные горизонтальные прямые, радиально сходящиеся к центру скважины, а скорости фильтрации во всех точках любого поперечного (перпендикулярного к линиям тока) сечения потока параллельны и равны между собой; изотахи и эквипотенциальные поверхности перпендикулярны траекториям и образуют цилиндрические окружности с осью, совпадающей с осью скважины. Схемы линий тока в любой горизонтальной плоскости потока будут идентичными и для характеристики потока достаточно рассмотреть движение жидкости в одной горизонтальной плоскости.

Примеры.

а) Горизонтальный пласт постоянной толщины (h) и неограниченной протяженности, подошва и кровля пласта непроницаемы. Пласт вскрыт единственной гидродинамически совершенной скважиной (рис. 3.2), т.е. вскрыт на всю толщину и забой полностью открыт. Для эксплуатационной скважины поток - радиально-сходящий, а для нагнетательной - радиально-расходящий. Плоско-радиальным потоком будет занята вся зона от стенки скважины до контура питания.

б) Гидродинамически- несовершенная скважина - вблизи скважины линии тока искривляются и поток можно считать плоско-радиальным только при некотором удалении от скважины.

в) Круговая батарея эксплуатационных скважин - поток плоско-радиален на некотором удалении, т.к. жидкость движется как бы к укрупнённой скважине радиуса, равного радиусу окружности батареи.

3. Радиально-сферический поток.Траектории всех частиц жидкости - прямолинейные горизонтальные прямые, радиально сходящиеся к центру полусферического забоя; изотахи и эквипотенциальные поверхности перпендикулярны траекториям и образуют сферические поверхности. Скорость фильтрации в любой точке потока является функцией только расстояния этой точки от центра забоя. Следовательно, этот вид фильтрационного потока также является одномерным.

Такой поток может реализовываться, когда скважина вскрывает только плоскую горизонтальную, непроницаемую кровлю пласта (рис.3.3). Пласт при этом должен быть неограниченной толщины, а забой иметь полусферическую форму. Приближение к данному виду потока тем лучше, чем глубина вскрытия меньше толщины пласта.

Описанные три вида одномерного потока играют большую роль при решении многих задач нефте-газопромысловой практики. Они лежат в основе ряда исследований закономерностей течения жидкости в пласте в зависимости от принятой системы разработки или от конструктивных особенностей скважин. Естественно, моделируя каждый из трёх видов одномерного потока, мы прибегаем к некоторой схематизации реальных пластов и течений жидкости. Тем не менее рассмотренные схемы не только воспроизводят хотя и приближенно простейшие случаи течения жидкости в реальном пласте, но и помогают изучать более сложные виды потоков пластовой жидкости в тех случаях, в которых сложный фильтрационный поток удобно представить себе состоящим из простейших видов потока.

К числу сложных потоков можно отнести: плоский фильтрационный поток в случае, когда число скважин не менее двух; многофазные течения и т.д.

Задача исследования установившегося фильтрационного потока заключается в определении дебита (расхода), давления, градиента давления и скорости фильтрации в любой точке потока, а также в установлении закона движения частиц жидкости (или газа) вдоль их траекторий и в определении средневзвешенного по объёму порового пространства пластового давления.

При условии вытеснения флюида из пласта или его нагнетания в пласт через галерею или скважину условимся принимать за координату произвольной точки пласта расстояние r до этой точки от:

1) галереи (для прямолинейно- параллельного потока);

2) центра контура скважины в основной плоскости (плоскости подошвы пласта) фильтрации (для плоско-радиального потока);

3) центра полусферического забоя скважины (для сферически-радиального потока).

2.Характеристики одномерных фильтрационных потоков

жидкости и газов.

Для расчета перечисленных характеристик одномерных фильтрационных потоков жидкости и газа можно использовать два подхода. Первый из них – вывод дифференциальных уравнений и их решение отдельно для прямолинейно-параллельного, плоскорадиального и радиально-сферического потоков жидкости и газа. Второй – вывод обобщенного уравнения одномерного течения флюида в недеформируемой трубке тока переменного сечения с использованием функции Лейбензона и получение из него конкретных формул применительно к различным схемам фильтрационных потоков. Второй подход более эффективен, позволяет исходить из обобщенных характеристик течения, он был использован и при выводе следующих характеристик:

Прямолинейно – параллельный фильтрационный поток.

Площадь поперечного сечения ; на контуре питания x₁=0, P₁=P_K, на галерее x₂=L, P₂=P_Г;

(53, 54, 55)

Плоскорадиальный фильтрационный поток

От координаты S переходим к r, отсчитываемой от центра скважины. Для добывающей скважины , , площадь фильтрционной поверхности - боковая поверхность цилиндра; на контуре питания r1 = Rk ,P₂=P_K на забое скважины r 2 = r c ,P₂=P_C .

, (57)

(58)

Радиально – сферический фильтрационный поток.

В этом случае для добывающей скважины с полусферическим забоем имеем: , , - площадь поверхности полусферы с радиусом r, r 1 = Rk , P₁=P_K, r₂=r_C, P₂=P_C.

(59)

; (60)

. (61)

3. Анализ одномерных потоков несжимаемой жидкости и газа.

Рассмотрим конкретные модели флюидов – несжимаемую жидкость и совершенный газ. Выпишем для них формулы для расчета основных характеристик одномерных фильтрационных потоков. Сопоставление этих формул позволит оценить эффект сжимаемости при прочих одинаковых условиях.

Прямолинейно – параллельный поток несжимаемой жидкости и совершенного газа

Подставим в основные расчетные формулы (53), (54), (55) выражение функции Лейбензона (для несжимаемой жидкости) и (для совершенного газа ) , а также на контуре и на галерее (аналогично и для совершенного газа)

Расчетные формулы для прямолинейно-параллельного потока несжимаемой жидкости и совершенного газа

Характеристика	Несжимаемая жидкость	Совершенный газ
Функция Лейбензона
Распределение давления по пласту, 0 £ x £ L	(62)	(63)
Массовый расход Qm	(64)	(65)
Массовая скорость фильтрации	(66)	(67)
Объемный расход Q	(68)
Скорость Фильтрации (объемная)	(71)	(72)
Средневзвешенное давление	(73)	(74)
Время движения отмеченных частиц t	(75)	(76)
Время продви – жения до галереи Т	(77)	(78)

Массовые расходы и массовые скорости фильтрации для обоих флюидов постоянны вдоль пласта; объемный расход и объемная скорость фильтрации жидкости вдоль пласта не меняются, однако для газа эти характеристики зависят от координаты, возрастая от входа к выходу, что является следствием расширения газа при снижении давления.

Плоскорадиальный фильтрационный поток

Модель флюида

Характеристика	Несжимаемая жидкость	Совершенный газ
Распределение давления по пласту	(79) (81)	(80) (82)
Массовый расход Qm	(83)	(84)
Массовая скорость фильтрации rW	(85)	(86)
Объемный расход Q	(формула Дюпюи) (87)	(88) (89)
Объемная скорость фильтрации	(90)	(91)
Средневзвешенное давление	(92)	(93)
Время движения отмеченных частиц	(94)	________________
Время движения частицы от контура до забоя Т	(95)	(96)

Рис.2 Кривые распределения давления в плоскорадиальном потоке:

1 – для жидкости, 2 – для газа.

Для несжимаемой жидкости давление меняется вдоль координаты r по логарифмическому закону (Рис. 2, кривая 1). Вращение кривой p(r) в пространстве вокруг оси скважины образует поверхность, называемую воронкой депрессии.

Зависимость дебита от перепада давления называется индикаторной линией. В потоке жидкости по закону Дарси индикаторная линя – прямая (Рис. 3).

Вид индикаторной линии не зависит от геометрии потока и определяется только законом фильтрации. Отношение массового дебита скважины Qm к перепаду давления Dр называется коэффициентом продуктивности скважины k. Рис. 3.

Из (60) следует, (для жидкости):

, (97)

коэффициент продуктивности определяется в результате исследования скважины при установившихся отборах. Если исследования скважины выполнены при ( - давление насыщения нефти газом), то по тангенсу угла наклона коэффициент продуктивности скважины

, (98)

, (99)