Z - преобразования функций времени
x(t) | X(s) | x[nT] | X(z) | |
- | ||||
l(t) | 1/s | l[nT] | z/(z-l) | z/(z-l) |
t | 1/s2 | nT | Tz/(z-l)2 | |
l/(s+ ) | z/(z-d) | . . . | ||
t2/2! | 1/s3 | (nT)2/2! | T2z(z+1) 2!(z-l)3 | . . . |
. . . | ||||
l/(s+ )3 | . . . |
Для нахождения z-изображений решетчатых функций по заданному оригиналу и наоборот имеются специальные таблицы, фрагмент такой таблицы приведен выше. Необходимо отметить, что все функции времени, имеющие одинаковые значения в дискретные моменты времени, обладают одинаковыми z-преобразованиями и поэтому связь между функцией времени и ее z-изображением не является взаимно однозначной. Однако, семейство модифицированных z-преобразований решетчатой функции для всех от 0 до 1 однозначно определяет непрерывную функцию.
Свойства z-преобразования изложены в [2], поэтому ограничимся рассмотрением некоторых из них, которые потребуются в дальнейшем.
1. Свойство линейности. Если и , то
(1.31)
2. Теорема сдвига (смещения). Если и - произвольное положительное число, тогда
(1.32)
где , m - целая, - дробная часть числа ;
если , тогда
(1.33)
3. Изображение обратных разностей
(1.34)
4. Изображение конечных сумм:
полных (1.35)
неполных (1.36)
5. Предельные значения. Если дискретные значения функции в установившемся режиме существуют, то они могут быть найдены путем следующего предельного перехода:
(1.37)
начальное значение функции оригинала:
(1.38)
6. Свертка функций. Если F1(z) = Z{f1(t)} и F2(z) = Z{f2(t)}, то
(1.39)
и
(1.40)
7. Формула обращения. Дискретные значения функции по ее z-преобразованию определяют следующим контурным интегралом:
(1.41)
8. Изображение разностных уравнений. Пусть разностное уравнение, связывающее выходную координату импульсной системы с ее входным воздействием f[nT], имеет следующий вид:
(1.42)
при и , для всех n < 0.
Подвергнув исходное уравнение z-преобразованию, получим
,
которое можно переписать в виде
, (1.43)
где полиномы
и (1.44)
Из (1.43) находим изображение выходной координаты
, (1.45)
где (1.46)
По аналогии с определением передаточной функции непрерывных систем выражение W(z) называется дискретной передаточной функцией импульсной системы.
Данная запись отличается от передаточной функции для непрерывных систем тем, что переменная z в полиномах имеет отрицательные степени. Для того, чтобы была полная аналогия с передаточными функциями непрерывных систем, степень переменной z делают положительной путем домножения числителя и знаменателя выражения (1.46) на zm . Тогда получим формулу, которая полностью аналогична записи для непрерывной функции
(1.47)
Задача получения разностного уравнения по дискретной передаточной функции решается в обратной последовательности.
Пример. Написать разностное уравнение, связывающие выходную координату у[nT] и входное воздействие f[nT] импульсной системы, заданной передаточной функцией
Решение. Домножим числитель и знаменатель W(z) на . В результате получим
.
На основании последнего выражения разностное уравнение будет
Его решение при нулевых начальных условиях , для всех n < 0:
.
Полученному решению соответствует структурная схема, приведенная на рис. 1.5.
Рис. 1.5. Структурная схема импульсной системы
Комплексный спектр решетчатой функции времени.Комплексный спектр решетчатой функции времени f[n, ] представляет собой комплексную функцию вещественного переменного , определяемую следующим выражением:
при (1.48)
Таким образом, для получения комплексного спектра необходимо в изображении решетчатой функции произвести замену , откуда следует, что функция z является периодической функцией с периодом, равным . По этой причине комплексный спектр решетчатой функции также является периодической функцией того же самого периода:
(1.49)
и, следовательно, может рассматриваться на любом интервале значений , длина которого равна . В качестве такого интервала принят интервал
(1.50)
Подобно любой комплексной функции спектр (1.48) может быть представлен в показательной или алгебраической форме записи:
(1.51)
где , , , называются соответственно амплитудным, фазовым, вещественным и мнимым спектрами решетчатой функции . При фиксированном значении спектр (1.51) изображается вектором в плоскости (U, jV); при изменении от до , конец вектора прочерчивает некоторую кривую, которая является графическим изображением спектра.