Нормальний закон розподілу випадкової величини

На практиці рідко вдається провести таке велике число вимірювань, щоб можна було побудувати хорошу гістограму, тому замість графічної побудови кривої розподілу, як правило, параметри функції розраховують. Для цього потрібно звичайно, зробити певні припущення про форму цієї функціональної залежності. Можна показати, що якщо похибки обумовлені досить великим набором незалежних причин, кожна з яких вносить дуже малий позитивний або негативний внесок, то виникає розподіл похибок по так-званому нормальному закону, що описується функцією Гауса:

(4)

де =2,7182 - основа натуральних логарифмів, і s - параметри розподілу, зміст яких приведений вище. Отже дана формула містить тільки два параметри - і . Знаючи їх можна побудувати криву або . Графік функції Гауса для для різних значень величини приведений на рис 2 .

Для кривої розподілу Гауса характерні наступні властивості:

1. Крива симетрична відносно - позитивні і негативні похибки зустрічаються однаково часто.

2. Пік кривої міститься при ; досить полога вершина вказує на те, що будь-які малі значення похибок майже рівноймовірні, а потім спостерігається швидкий спад, який вказує на малу ймовірність великих похибок. Це і зрозуміло, оскільки для отримання великої похибки всі джерела похибок повинні одночасно дати внесок одного знаку, що трапляється дуже рідко.

3. Повна площа під кривою рівна 1 (це забезпечується нормувальним множником перед експонентою). Ця умова є необхідною, оскільки ймовірність достовірної події рівна одиниці, інакше кажучи з вимірювань всі обов'язково містять яку-небудь похибку з інтервалу .

4. Функція ніде не перетворюється в нуль.

Параметр характеризує ширину розподілу (див. рис. 2): при величина в e (e=1.649...) раз менше, ніж в максимумі. При малих графіки вузькі і високі, що відповідає більш тісному групуванні результатів вимірювань навколо середнього значення. В інтервалі розміщена більша частина площі під кривою -68%, інакше кажучи, 68% всіх результатів мають похибку, що по абсолютній величині не перевершує . В той же час 95 % результатів вимірювань задовольняють умові , а 99.7%- умові (так зване правило трьох сигм- тобто ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина відрізняється від свого математичного сподівання більше ніж на три сигма приблизно дорівнює 0,0027, така подія є практично неможливою).

Рис 2. Функція густини розподілу ймовірності для різних значеннь параметру .

Отже, якщо ми побудуємо криву густини ймовірності , то оцінку істинного значення вимірюваної величини дасть положення максимуму цієї кривої. Більш зручним методом отримання цієї оцінки буде обчислення середнього значення . Величини можемо знайти за допомогою співвідношення:

.

Тут -номер вимірювання, а -номер одного із відрізків, на які ми розбили інтервал зміни величини .

При виведені цього співвідношення використовувались наступні операції:

-величини розбиті на груп, в кожній із яких ;

-в кожній групі всі наближено замінені на ;

-величини характеризує функцію розподілу густини ймовірності.

Якщо то наближені рівності стануть точними і ми отримаємо, що . Використовуючи останню рівність при і отримаємо, що для середнього значення генеральної сукупності справедливий вираз :

.

Аналогічно можна показати, що параметр нормального розподілу рівний дисперсії D випадкової величини, яка в загальному випадку визначається наступним інтегралом:

.