Достатня умова розкладання функції в ряд Фур’є

Якщо – кусково–диференційовна функція на відрізку , то її ряд Фур’є збігається на цьому відрізку і його сума S(x) визначається так:

у кожній точці x є (-l; l), в якій f неперервна;

у кожній точці х є (-l; l), в якій функція має розрив першого роду;

Якщо функція f парна на відрізку , то її ряд Фур’є на цьому відрізку містить лише вільний член і косинуси, тобто

, (3)

де (4)

Якщо - непарна функція, то її ряд Фур’є містить лише синуси:

~ , (5)

де . (6)

Якщо функцію задано на відрізку , то її потрібно продовжити довільним способом на відрізок , а потім розкласти її в ряд Фур’є на відрізку . Доцільно продовжувати функцію парним або непарним способом. Тоді дістанемо неповний ряд Фур’є, який містить лише косинуси або синуси.

Приклад. Розкласти функцію в ряд Фур’є на відрізку . Користуючись одержаним розкладом, показати, що

Задана функція задовольняє достатню умову розкладання в ряд Фур’є. Вона парна, тому її ряд містить лише косинуси і вільний член (див. формулу (3)). Визначимо коефіцієнти за формулою (4), покладаючи . При n = 0 маємо

Далі .Обчислимо останній інтеграл частинами, покладаючи . Тоді

Згідно з формулою (3), дістанемо такий розклад:

Одержаний ряд збігається до функції |x| у всіх точках її області задання

Оскільки сума ряду є функцією періодичною з періодом , то у всіх інших точках числової прямої ряд Фур’є збігатиметься до періодичного продовження заданої функції. При х = 0 дістанемо рівність

,

звідки знаходимо суму числового ряду, вказаного в умові; .