Основные свойства потенциальных полей

1. — циркуляция потенциального поля равна нулю по любому замкнутому контуру .

w Действительно, v

2. Если векторное поле задано в односвязной области D, то для его потенциальности необходимо и достаточно, чтобы его , то есть любое потенциальное поле является “безвихревым”.

Доказательство

wНеобходимость: если векторное поле потенциально, то есть , то его .

Достаточность: если , то все компоненты вектора равны 0, то есть , , .

Докажем, что поле является потенциальным.

Если переобозначить то получим: , , .

В этих равенствах легко узнать необходимые и достаточные условия для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции , то есть , , то есть поле является потенциальным, ч.т.д.

Если вспомнить доказательство достаточных условий полного дифференциала (в двумерном случае – с помощью формулы Грина), то становится понятно, что эти условия () должны выполняться во всех точках некоторой области, которая рассматривалась как односвязная область.

Можно показать, что в случае области, которая не является односвязной, этих условий может оказаться недостаточно для восстановления однозначной функции во всей области (см. Фихненгольц, т.III, §§ 558-562, 601, 641). v

3. Если векторное поле потенциально, то его работа этого поля между двумя точками пространства не зависит от формы линии, которой соединяются эти точки, и равна разности значений потенциала поля в этих точках.

Доказательство

w

то есть работа равна разности значений потенциала и не зависит от формы перемещения v

4. Потенциал потенциального поля определяется с точностью до постоянного слагаемого.

Действительно,

Найти потенциал векторного поля можно, например, с помощью криволинейного интеграла II рода, вычисленного от фиксированной точки до переменной точки :

(2)

При этом удобно вычислять криволинейный интеграл как независящий от формы линии интегрирования, то есть по ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат. Точки , и линия интегрирования должны оставаться в области существования этого криволинейного интеграла.

При этом координаты фиксированной точки можно положить равными конкретным числам – это упростит вычисление.

По методу своего решения задача нахождения потенциала потенциального векторного поля совпадает с задачей о восстановлении функции двух или трех переменных по ее полному дифференциалу (см. §9 данного конспекта).

Пример 1 (нахождение потненциала потенциального векторного поля)

Убедиться в том, что векторное поле потенциально, и найти его потенциал:

Решение

— это необходимое и достаточное условие потенциальности поля .

Вычисляем

Þ поле является потенциальным.

Ответ: