Определение и основные свойства поверхностного интеграла I рода

Определение поверхностного интеграла I рода

Рассмотрим функцию , заданную в каждой точке некоторой поверхности (s) в системе координат XOYZ. Поверхностным интегралом I рода от функции f(x,y,z) по поверхности (s) называется конечный предел интегральной суммы при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму: Определение поверхностного интеграла I рода (1) где n —это количество элементарных частей, на которые разбита поверхность (s), Dsi — площадь i-ой части разбиения, , — произвольная точка на i-той элементарной части (Рис.19), –– ранг разбиения, –– диаметр i-ой части разбиения. При этом предполагается, что предел интегральной суммы существует и не зависит ни от способа разбиения поверхности (s) на элементарные части, ни от выбора точек на каждой из элементарных частей.

Основные свойства поверхностного интеграла I рода (Сформулируйте основные свойства поверхностного интеграла I рода)

Свойство 1 (линейность поверхностного интеграла I рода по поверхности интегрирования)

где — постоянные по x, y, z.

Свойство 2 (аддитивность поверхностного интеграла I рода по поверхности интегрирования)

Если

Свойство 3 (о значении поверхностного интеграла I рода от функции, тождественно равной единице)

Если подынтегральная функция f(x,y,z) º 1 во всех точках поверхности (s ), то поверхностный интеграл от функции f(x,y,z) по поверхности (s ) равен площади (мере) поверхности интегрирования:

Свойство 4 (достаточные условия существования поверхностного интеграла I рода)

Если функция является непрерывной в каждой точке ограниченной поверхности (s), то поверхностный интеграл существует.

Механический смысл поверхностного интеграла I рода (В чем состоит механический смысл поверхностного интеграла I рода?)

— это масса неоднородной поверхности (s),

если f(x,y,z)³0 — это поверхностная плотность распределения массы по поверхности (s).