Правила дифференцирования

Производная и дифференциал

Определение. Производной функции f(х) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆х стремящемся к нулю, если этот предел существует:

Производные простейших функций:

1. ()' = ; частные случаи: ; ()' =.

2. ()' = ; частный случай:

3. ()' = ; частный случай: ()' = .

4. (sinx)' = cosx. 5. (cosx)' = − sinx.

6. (tgx)' = . 7. (ctgx)' = .

8. (arcsinx)' = . 9. (arccosx)' = –.

10. (arctgx)' = . 11. (arcctgx)' = –.

1. Производная постоянной:

2. Производнаясуммы:

3. Производнаяпроизведения .

Следствие: , т. е. постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная частного:

5. Производная сложной функции: ,

где f = f(x), g = g(x) – дифференцируемые функции.

Пусть функция заданапараметрически: Тогда ее производная равна

2.3.1. Примеры вычисления производных

,

11. Найти производную функции, заданной неявно:

Решение.

2.12. Найти производную функции по определению производной:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

2.13. Найти производную функции:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9)

10)

11) 12) 13)

14) 15) 16)

17) 18) 19)

20) 21) 22)

23) 24) 25) 26) 27) 28)

29) 30) 31)

32) 33) 34)

2.14. Найти производную функции и вычислить ее значение при x = x₀:

1) 2)

2.15. Найти производные функций, заданных неявно:

1) 2)

3) 4)

2.16. Найти производную n-го порядка функций:

1) 2)

3) 4)

2.3.2. Применение производной в экономике

2.17. Объем продукции u (ед.) в течение рабочего дня представляет функцию u = , где t – время (ч). Найти производительность труда, скорость и темп ее изменения через 2 часа после начала работы; за 1 час до ее окончания (при 8-часовом рабочем дне).

2.18. Зависимость между издержками производства y (ден. ед.) и объемом выпускаемой продукции х (ед.) выражается функцией:

а)б)

Определить средние и предельные издержки при объеме продукции, равном 5 ед.

2.19. Зависимость между себестоимостью продукции С и объемом Q ее производства выражается формулой Определить эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 30.

Указание. Эластичность функции y(x) равна

где и ̶ относительные приращения функции и аргументов соответственно. Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y = f(x) при изменении аргумента x на 1 %.

2.20. Функции спроса q и предложения s от цены p выражаются соответственно уравнениями: 1) q = 7 − p, s = p + 1; 2)

Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 5 % от равновесной.

2.21. Функции спроса q и предложения s от цены p выражаются соответственно уравнениями q = 9 − p и s = p + 2.

Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 10 % от равновесной.

2.22. Функции долговременного спроса q и предложения s от цены p на мировом рынке нефти имеют соответственно вид: q = 30 − 0,9p, s = 16 + 1,2p.

1. Найти эластичность спроса в точке равновесной цены.

2. Как изменятся равновесная цена и эластичность спроса при уменьшении предложения нефти на рынке на 25 %?

2.23. Зависимость между себестоимостью готовой продукции предприятия у (млн руб.) и объемом выпускаемых изделий х (тыс. шт.) выражается уравнениемНайти эластичность себестоимости продукции предприятия, выпускающего 12 тыс. шт. изделий. Какие рекомендации можно дать руководителям предприятий об изменении величины объема выпускаемой продукции?

2.24. Зависимость потребления y от дохода x задается функцией Показать, что эластичность функции потребления от дохода не зависит от параметра а и стремится к нулю при неограниченном возрастании дохода.

2.25. Функция потребления некоторой страны имеет вид: где x ̶ совокупный национальный доход.

Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 32.

2.26. Функция сбережения некоторой страны имеет вид: где x – совокупный национальный доход.

Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 27.

2.27. Функция спроса q от цены p описывается формулой где и k – известные величины. Найти, при каких значениях цены p спрос будет эластичным.

2.28. Найти изменение выручки с увеличением цены на товар при разных вариантах эластичности спроса, если выручка V(р) равна произведению цены р на величину спроса q(р).

2.3.3. Дифференциал функции

Определение. Дифференциалом функции у = f(х) называется выражение

Применение дифференциала в приближённых вычислениях: при достаточно малых значениях х