Сложение одинаково направленных колебаний

Комплексная форма представления колебаний

Векторная диаграмма гармонического колебания

Гармоническое колебание

можно представить в виде проекции вектора , вращающегося против хода часовой стрелки с угловой скоростью, равной круговой частоте . Из рис. 3 следует, что проекция вектора на направление ОХ будет.

Согласно формуле Эйлера для комплексных чисел

, где .

Поэтому уравнение гармонического колебания (3) можно записать в экспоненциальной форме:

Вещественная часть представляет собой смещение х при гармоническом колебании .

Обычно обозначение опускают и пишут так

.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты, смещения которых и .

Используем векторную диаграмму, рис. 4; откуда следует, что где

.

Пусть , тогда

, т.е. результирующее колебание не будет гармоническим. Если колебания мало отличаются по частоте, например, , , то результирующее колебание можно рассматривать как почти гармоническое колебание с частотой и медленно меняющейся амплитудой . Такие периодические изменения амплитуды называются биениями.

6.1. Пусть и , тогда траекторией будет прямая линия, рис. 5: .

6.2. При и , траекторией будет эллипс, ( рис. 6):

(x²/A²)+(y²/B²)=1.

При разных частотах складывающихся колебаний результирующие траектории будут иметь более сложный вид.

Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу.