Невироджені системи лінійних рівнянь
Обернена матриця
Чи можна ділити матриці?
Означення 1. Оберненою матрицею А-1 до матриці А називається матриця того ж порядку, яка задовільняє умові А • A-1 = А-1 • А = Е, де Е - одинична матриця того ж порядку що й А.
Означення 1. Виродженою називається матриця, визначник якої дорівнює нулю, а якщо не дорівнює нулю, то матриця називається невиродженою.
Теорема 1. (Існування та обчислення оберненої матриці).
Якщо матриця А n-го порядку невироджена, тобто |А|¹0, то існує їй обернена матриця:
А11 А12 Аn1
А-1 = 1/detA A21 A22 An2
A1n A2n ... Ann
Доведення: За означенням 1 маємо: А×А-1 = Е = А-1×А.
А22 А21 А31 а11 а12 а13 а11А11+а21А21+а31А31
1/|A| A12 A22 A32 × а21 а22 а23 = 1/|A| =
A13 A23 A33 а31 а32 а33
|A| 0 0 1 0 0
= 1/|A| 0 |A| 0 = 0 1 0 = Е
0 0 |A| 0 0 1
Алгоритм знаходження оберненої матриці.
обчислити detА=0 так не існує
ні
обчислити алгебраїчні
доповнення
записати обернену
матрицю
Приклад:
1 3 2 1 18 5
А = 2 -1 1 А-1 = ? А = 1/42 9 -6 3
1 3 -4 7 0 -7
Означення 1. а11 x1+a12 х2+ ... +а1n x n = b1
Система (1)
an1 x1+an2 х2+ ... +ann xn = bn
називається невиродженою, якщо визначник матриці
a11....а1n
А= ............. відмінний від нуля.
а11....аnn
Означення 2. Матриця А складена з коефіцієнтів при невідомих
називається матрицею системи.
Означення 3. Матриця складена з елементів матриці системи та стовпчика вільних коефіцієнтів системи називається розширеною.
a11... а1n b1
А = ............ .....
аn1...аnn bn
Систему (1) записати в матричному вигляді А • Х = В, де
x1 b 1
X = x2 B = b2
x3 b3