Эталоны решения типовых задач
Задача 1(а). Найти производную функции: 
.
Решение: Для решения задачи необходимо применить правило дифференцирования алгебраической суммы: 
и формулу производной степенной функции:
. Тогда получим: 
Ответ:
Задача 1(б). Найти производную функции:
Решение: Применяя правило дифференцирования произведения функций 
, находим
Ответ:
Задача 1(в) .Найти производную функции: 
; x2-1≠0.
Решение:Применяя правило дифференцирования частного функций:
; v≠0
находим: 
Ответ:
Задача 2(а). Найти производную функции:
.
Решение: Данная функция может быть представлена в виде сложной степенной функции: 
.
В соответствии с формулой производной сложной степенной функции: 
, имеем:
.
Ответ:
Задача 2(б). Найти производную функции: 
Решение: Применяем правило дифференцирования сложной функции: 
и имеем:
Ответ:
Задача 2(в). Найти производную функции:
.
Решение: Данная функция является сложной и её производная определится следующим образом:
.
Ответ:
.
Задача 3(а). Найти производную второго порядка от функции: 
.
Решение: Находим первую производную: 
.
Зная, что производной второго порядка называется производная от производной первого порядка, получаем:
Ответ:-
Задача 3(б). Точка движется по закону: x=t–sint. Определить мгновенные скорость и ускорение точки.
Решение: Мгновенная скорость точки характеризуется первой производной от смещения x по времени t: 
. Мгновенное ускорение точки характеризуется второй производной от смещения x по времени t или первой производной от скорости по времени: 
.
Ответ:
;
.
Задача 4. Определите зависимость градиента концентрации от координаты, если зависимость концентрации от координаты задана функцией: 
, где k - константа, а C0 есть концентрация вещества при x=0.
Решение: Величина градиента концентрации определяется выражением 
и характеризует быстроту изменения концентрации при изменении координаты. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции: 
, в данном случае получим:
.
Ответ: величина зависимости градиента концентрации от координаты
.
Задача 5. Найти дифференциал функции:
.
Решение: По определению 
, т.е. чтобы найти дифференциал одной переменной, нужно найти производную 
и умножить её на дифференциал аргумента dx. Искомый дифференциал будет:
Ответ:
.
Задача 6.Найти полный дифференциал функции:
Z=3x2y3+8xy2-3y+ex.
Решение:
