Рассмотрим двойной интеграл

(13)

Если разбиение области D проводить прямыми, параллельными координатным осям, т.е. координатными линиями декартовой системы координат: x=const, y=const, то

.

 
 
 
 
 
В других системах координат элемент площади удобнее выразить иначе.

 

 

1. Элемент площади в полярной системе координат.

Пусть требуется вычислить интеграл (13) в полярной системе координат, причем полюс совпадает с началом координат и полярная ось совпадает с осью абсцисс.

Тогда декартовы координаты точки выражаются через полярные по формулам:

Рис.24.

(14)

Значение интеграла (I3) не зависит от способа разбиения области D на частичные, поэтому разобьём её системой координатных линий полярной системы (рис.24):

=const (лучи, выходящие из полюса) и =const (концентрические окружности с центром в полюсе).

 

 
 
 


rdj
dj
rdj
х
j
j
r
dj
y
dr
Тогда, если разбиение области D достаточно мелкое (и малы), то каждую элементарную площадку можно считать прямоугольником со сторонами и (с точностью до бесконечно малых высшего порядка).

Рис. 25.

Тогда

(15)

элемент площади в полярной системе.

2. Переход в двойном интеграле к полярным координатам.

Чтобы преобразовать интеграл (13) к полярной системе координат, нужно х и у в функции f(x,y) выразить через и по формулам (14) и взять элемент площади (15):

(16)

Для вычисления двойного интеграла в полярной системе координат его сводят к повторному.

 
 


j=j1
r=r1(j)
C1
а) Пусть область D не содержит полюса и ограничена двумя лучами и и кривыми и , причём линии пересекают границу не более чем в двух точках

Рис.26.

(С1 и С2) – точки входа и выхода.

 

 

Тогда

(17)

r(j) )
б) Полюс и любой луч пересекает гра- ницу области только в одной точке (рис.27). Тогда

 
(18)

Рис. 27.

 

Замечание. Оба интеграла а формулах (17) и (18) могут иметь постоянные пределы лишь в том случае, когда границей области D служат координатные линии и .

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

 
 


, где

D – круг радиуса 1 с центром в начале координат (рис.28).

Рис. 28.

Перейдем к полярным координатам

.

 

 

 

Пример 2. Вычислить двойной интеграл

D:

Перейдем к полярным

координатам по формулам (14)

Рис. 29

Полученное уравнение описывает окружность с центром в точке (1,0) и радиуса 1 (рис. 29).

 

9.5.Приложения двойных интегралов.

Двойные интегралы применяются для вычисления площадей плоских фигур и поверхностей, объемов пространственных тел, механических величин связанных с непрерывным распределением массы в плоской области, а также для решения многих других задач.

Геометрические приложения двойных интегралов

1. Площадь области на плоскости выражается формулой

2. Объем тела, где

непрерывная неотрицательная в области

функция, выражается формулой

Физические приложения двойных интегралов

Пусть - материальная бесконечно тонкая пластинка с плотностью. Тогда справедливы следующие формулы:

1.- масса пластинки;

2. - статические моменты пластинки относительно осей

3. - координаты центра тяжести пластинки;

 

4. - моменты инерции пластинки относительно осей

5. - момент инерции пластинки относительно начала координат.

Пример. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

Решение. Данное тело можно представить в виде

,

где - область на плоскости, ограниченная кривыми, то есть. Переходя от двойного интеграла к повторному, получим

Пример. Найти моменты инерции относительно осей пластины с плотностью ограниченной кривыми и расположенной в первом квадранте.

Решение.

. Чтобы свести каждый из этих интегралов к повторному, нужно область разбить на три части. Удобнее перейти к полярным координатам:. Тогда изменяется от до, а при каждом значении переменная изменяется от (значение на кривой, уравнение которой в полярных координатах в I квадранте имеет вид ) до (значение на кривой Следовательно,

Аналогично получаем

Задачи для самостоятельного решения

1. Свести двойной интеграл к повторному двумя способами, если:

а) - область, ограниченная кривыми

б) - круг

в) - треугольник со сторонами, лежащими на прямых

г) - кольцо

д) - область, ограниченная кривыми;

е) - область, лежащая вне окружности и внутри кривой.

2. Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах:

а) б)в )

г) д)

е) ж)

3. Вычислить двойные интегралы:

а)б)

в) где

г) где

д) где

е)где - область, ограниченная кривыми

;

ж) где - область , ограниченная кривой

з) где - область , ограниченная кривыми

4. В следующих интегралах перейти к полярным координатам

а)б)

в).

5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

а)

б)

в)

6. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми:

а)

б)

в)

Ответ: а) б)

в)

7. Найти координаты центра тяжести круглой пластинки если ее плотность в точке пропорциональна расстоянию от точки до точки

Ответ:

8. Найти моменты инерции и относительно осей и однородной пластинки с плотностью, ограниченной кривыми:

а)

б)

в)

г)

Ответ: а) б) в) г)

9. Найти моменты инерции и относительно осей и однородной пластинки с плотностью, ограниченной кривыми:

а)

б)

Ответ: а)б)

 

Ответ: Взяв ось в качестве оси абсцисс, получаем Так как, по условию, то приходим к равенству