Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Явное представление кривой интегрирования.

Если плоская кривая АВ задана уравнением , , где функция и ее производная непрерывны на отрезке , то криволинейный интеграл вычисляется по формуле .

Параметрическое представление кривой интегрирования.

Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями x=x(t) и y=y(t), где функции x(t) и y(t) непрерывны вместе с производными на отрезке , причем начальной точке А соответствует значение параметра t=α, конечной точке В значение t=β. Криволинейный интеграл вычисляется по формуле

Пример.

Вычислить криволинейный интеграл . L – контур, ограниченный параболами (рис. 23). Направление обхода контура положительное, т.е против движения часовой стрелки.

2.3 Формула Остроградского – Грина.

(Остроградский Михаил Васильевич (1861-1862) – русский математик, академик Петербургской А.Н.; Джордж Грин (1793 – 1841) – английский математик)

Иногда эту формулу называют формулой Грина, однако, Дж. Грин предложил в 1828 году только частный случай формулы.

Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром.

Пусть на плоскости Оху задана правильная область D.

Теорема. Если функции Р(х;у) и Q(х;у) непрерывны вместе со своими частными производнымии в области D, то имеет место формула

,

где L граница области D, интегрирование вдоль кривой производится в положительном направлении (при движении вдоль кривой L, область D остается слева). Формула называется формулой Остроградского-Грина.

Формула Остроградского – Грина справедлива и в случае многосвязной области, т.е. области, внутри которой есть исключенные участки. В этом случае правая часть формулы будет представлять собой сумму интегралов по внешнему контуру области и интегралов по контурам всех исключенных участков, причем каждый из этих контуров интегрируется в таком направлении, чтобы область D все время оставалась по левую сторону линии обхода.

Пример. Решим пример, рассмотренный выше (рис. 23), воспользовавшись формулой Остроградского – Грина.

Формула Остроградского – Грина позволяет значительно упростить вычисление криволинейного интеграла.