Однородного стержня

Частоты собственных продольных колебаний и удар

Система (13.1) после дифференцирования по z второго уравнения и подстановки первого уравнения дает

.

Уравнение линейно и его решение - сумма общего решения однородного уравнения и частного решения уравнения с правой частью. Здесь основным является решение однородного уравнения. Ограничимся им.

Представим решение в виде и подставим в однородное уравнение. Получаем

,

и, после преобразования (разделения переменных),

,

поскольку функции разных независимых переменных могут быть равны только в случае их равенства константе. Эта константа обозначена и выбрана отрицательной, так как решение должно удовлетворять граничным условиям. Пояснения (**) ниже. Также введено обозначение . Как известно из физики а - скорость распространения упругих волн в стержне. В этом нетрудно убедиться, так как удовлетворяет однородному уравнению.

Система распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения

и , решение которых , ,

должно удовлетворять граничным и начальным условиям задачи. Например, после удара стержня о стенку граничные условия:

,

,

откуда из основного свойства линейных уравнений – сумма решений есть решение-

.

Частоты собственных колебаний определены:

.

**При выборе положительной константы удовлетворить условиям на правом конце не удается.

Для определения амплитуд А_n , B_n необходимо удовлетворить начальным условиям:

Для определения применим прием, приведший к разработке рядов Фурье. Умножим обе части последнего выражения на и проинтегрируем по длине стержня

. (*)

Сумма интегралов в левой части (*) равна , т.к. после элементарных преобразований (***) легко убедится, что при

, а при .

Интеграл в правой части (*) равен .

***

Только при , раскрывая неопределенность типа 0/0, получаем , в остальных случаях синус аргумента, пропорционального , равен нулю.

Окончательно из (*) получаем

.

Соответственно

,

напряжения

.

Максимальные напряжения при ударе о жесткую стенку упругого стержня, летящего со скоростью V, получим при , т.е.

.

Это точное решение. Для сравнения в одномассовой системе получаем

при массе, сосредоточенной в центре стержня, ,

и расчет по одномассовой схеме дает запас .

В качестве спецзадания предлагается провести расчет по двухмассовой схеме. Здесь запас будет меньше, но будет.

Частота собственных колебаний в одномассовой постановке

,

т.е. меньше точного решения. Подтверждается закономерность, подмеченная при сравнении одномассовой и двухмассовой моделей.

Вообще, расчет удара по конечномассовой схеме всегда дает запас, но тем меньше, чем выше порядок системы, а частоты приближаются к точным по мере повышения числа степеней свободы.