Двойной интеграл. Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла сведено к повторному интегрированию.

1. Область интегрирования ограничена слева и справа вертикальными прямыми и , а снизу и сверху - непрерывными кривыми и , каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке (см. рис.9).

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

.

Рис. 9 Рис. 10

2. Область интегрирования ограничена снизу и сверху горизонтальными прямыми и , а слева и справа непрерывными кривыми и , каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке (см.рис.10).

В этом случае двойной интеграл вычисляется по формуле

.

3. Область интегрирования ограничена замкнутой кривой (см.рис.11).

Вычисление двойного интеграла по этой области сводится либо к случаю 1, если границу области разбить на дуги и ; либо к случаю 2 при разбивке границы на дуги , и

.

Рис. 11 Рис. 12

Пример.

Вычислить , если область ограничена окружностью (см. рис.12).

В первом способе вычисления разрешаем уравнение окружности относительно , в результате чего находим уравнение дуги и дуги .

Тогда двойной интеграл запишем в виде повторного

.

Вычисляя внутренний интеграл, получим

.

Интегрируя данную функцию по переменной , найдем значение двойного интеграла

.

Теперь изменим порядок интегрирования и запишем двойной интеграл в виде следующего повторного

.

Внутренний интеграл равен нулю, поэтому можно заключить о равенстве нулю двойного интеграла .

Сравнение двух способов вычисления показывает преимущество второго, так как здесь интегрирование производится только один раз.

4. Граница области интегрирования состоит из трех и более дуг.

Такая область вертикальными и горизонтальными прямыми разбивается на части, подходящие под случаи 1 и 2. Пример такой разбивки показан на рис.13. Двойной интеграл для данной области вычисляется по формуле

.

Рис. 13 Рис. 14

Пример.

Вычислить по области, изображенной на рис.14.

Разбиваем область интегрирования на части и и вычисляем двойные интегралы по каждой из этих областей согласно случаю 1.

Находим

,

,

.

Примененный метод вычислений для данной области не является рациональным, так как область непосредственно подходит под вид 2. Поэтому интегрирование лучше производить следующим образом

.

Кроме прямоугольных координат и для вычисления двойного интеграла могут быть использованы полярные координаты и . Прямоугольные и полярные координаты связаны между собой соотношениями: , . Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат к полярным осуществляется по формуле

Если область интегрирования ограничена лучами , и кривыми , , где и - однозначные функции при и r₁, то двойной интеграл вычисляется по формуле

.

Переход к полярным координатам применяют, если область интегрирования задана в полярных координатах или если это упрощает подынтегральную функцию.

Рис. 15

Пример.

Вычислить по области, показанной на рис.15.

Границы области интегрирования заданы кривыми в полярных координатах, поэтому двойной интеграл также считаем в полярных координатах

Пример.

Вычислить , если область ограничена окружностью .

В этом примере удобно перейти к полярным координатам, так как это упрощает подынтегральную функцию и сверх того делает более простыми пределы интегрирования. После перехода к полярным координатам двойной интеграл запишется в виде

.

Вычисляя внутренний интеграл, получим

.

После интегрирования по найдем значение двойного интеграла

.

В общем случае преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат и к криволинейным и , связанным друг с другом соотношениями , , осуществляется по формуле

,

где

(якобиан).

Записанная формула справедлива, если функции j и имеют непрерывные частные производные и устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками областей и и, кроме того, если якобиан сохраняет постоянный знак в области .

Пример.

Вычислить по области, ограниченной эллипсом , двойной интеграл .

С целью упрощения подынтегральной функции и области интегрирования перейдем к криволинейным координатам и , связанным с прямоугольными соотношениями: , , , . В новой системе координат область интегрирования преобразуется в прямоугольную область: , .

Якобиан преобразования координат равен

.

Осуществив преобразование координат и интегрируя, придем к следующему результату