ЛЕКЦИЯ 2
Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)
Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)
Определение: Пусть функция 
непрерывна на промежутке 
. Если существует конечный предел 
, то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают 
.
Таким образом, по определению
=.
В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке 
:
=
.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой
=
, где с – произвольное число.
В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция 
на промежутке и интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (см. рисунок 1).
Рисунок 1
Пример. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: 1) 
; 2) 
; 3) 
.
Решение: 1) 
, интеграл сходится;
2) 
, интеграл расходится, так как при 
предел 
не существует.
3) 
, интеграл расходится.
В некоторых задачах нет необходимости вычислить интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет.
Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости.
Теорема 1 (I признак сравнения). Если на промежутке непрерывные функции и 
удовлетворяют условию 
, то из сходимости интеграла 
следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла 
следует расходимость интеграла .
Пример. Сходится ли интеграл 
?
Решение: При 
имеем 
. Но интеграл 
сходится. Следовательно, интеграл 
также сходится (и его значение меньше 1).
Теорема 2 (II второй признак сравнения).Если существует предел 
, 
, то интегралы и 
одновременно оба сходятся или оба расходятся (т.е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).
Пример. Исследовать сходимость интеграла 
сходится, так как 
сходится и
.
Определение: Пусть функция непрерывна на промежутке 
и имеет бесконечный разрыв при 
(см. рисунок 2). Если существует конечный предел 
, то его называют несобственным интегралом второго родаи обозначают 
.
Таким образом, по определению,
=.
Если предел в правой части существует и конечен, то несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.
Рисунок 2
Аналогично, если функция терпит бесконечный разрыв в точке 
, то полагают
=
(см. рисунок 3).
Рисунок 3
Если функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка 
(см. рисунок 4), то несобственный интеграл второго рода определяется формулой
.
В этом случае интеграл называется сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.
Рисунок 4
В случае, когда 
, несобственный интеграл второго рода (разрыв в точке ) можно истолковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см. рисунок 2).
Рисунок 2
Пример. Вычислить 
.
Решение: При 
функция 
терпит бесконечный разрыв;
, интеграл расходится.
Сформулируем признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода.
Теорема 1 (I признак сравнения). Если на промежутке функции и непрерывны, при терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию 
. Из сходимости интеграла 
вытекает сходимость интеграла , а из расходимости интеграла вытекает расходимость интеграла .
Теорема 2 (II признак сравнения). Пусть функции и непрерывны на промежутке и в точке терпят бесконечный разрыв. Если существует предел 
, , то интегралы и одновременно сходятся или расходятся.
Пример. Сходится ли интеграл 
?
Решение: Функция 
имеет на 
единственный разрыв в точке . Рассмотрим функцию 
. Интеграл
расходится. И так как
,
то интеграл также расходится.
Замена переменных в двойном интеграле. Определитель Якоби. Вычисление двойных интегралов в полярной системе координат. Геометрические приложения двойных интегралов: вычисление площадей плоских фигур, объемов тел.